Тема: Четырехугольники
Урок: Решение задач по теме: «Параллелограмм и трапеция» (продолжение)
1. Решение задач по теме «Параллелограмм»
На прошлом уроке мы уже рассмотрели ряд задач, связанных с параллелограммом и трапецией. На этом уроке продолжим решать различные примеры на эту тему.
Пример 1.
Периметр параллелограмма 
равен 
, 
. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла 
? Найти отрезки, которые образуются при этом пересечении.
Дано: – параллелограмм; , 
– биссектриса .
Решение:
Рис. 1
Пусть 
. Воспользуемся тем фактом, что периметр параллелограмма равен . Тогда: 
.
Как же выяснить: какую сторону пересечёт биссектриса ?
Для этого воспользуемся следующими рассуждениями. Пусть биссектриса пересекает сторону 
(или её продолжение) в точке 
. Тогда: 
(по определению биссектрисы), 
(свойство внутренних односторонних углов при параллельных прямых). Отсюда: 
– равнобедренный. Значит, 
. Значит, 
.
Мы практически ответили и на второй вопрос задачи: 
.
Ответ: биссектриса пересекает сторону и делит её на отрезки 
и 
.
Пример 2.
Стороны параллелограмма равны 
. Биссектрисы двух углов, прилегающих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Дано: – параллелограмм; 
– биссектрисы.
Найти: 
Решение:
Рис. 2
Если воспользоваться решением примера 1, можно сразу сделать вывод, что треугольники 
– равнобедренные (так как 
, 
). Получаем, что 
. Тогда: 
.
Ответ: 
.
Пример 3.
Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр полученного четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника.
Дано: 
– равнобедренный треугольник (
); 
.
Доказать: 
Доказательство:
Рис. 3
– параллелограмм (по определению – так как: 
). Докажем, что треугольники 
– равнобедренные. Действительно: 
– как соответственные. С другой стороны, 
(свойство равнобедренного треугольника). Значит, 
и треугольники – равнобедренные. Тогда, 
, что и требовалось доказать.
Доказано
2. Решение задач по теме «Трапеция»
Пример 4.
В трапеции (
– большее основание): диагональ 
перпендикулярна боковой стороне 
, а 
. Периметр трапеции равен 
, 
. Найти длину большего основания трапеции.
Дано: – трапеция ( – большее основание), 
, 
, .
Найти: 
Решение:
Рис. 4
Рассмотрим треугольник 
: он прямоугольный (так как по условию 
, в нём . Из того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 
, следует, что: 
. В прямоугольном треугольнике с острым углом 
катет, лежащий против этого угла, в 
раза меньше гипотенузы. Поэтому, если мы обозначим основание 
, то 
.
– равнобедренная трапеция. Значит, 
. Кроме того, по свойству соответственных углов: 
– равнобедренный. Поэтому: 
.
Осталось воспользоваться тем фактом, что периметр трапеции равен : 
. Значит, большее основание трапеции: 
.
Ответ: 
.
Пример 5.
Сумма углов при одном из оснований трапеций равна . Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
Дано: – трапеция (
), 
. 
.
Доказать: 
Доказательство:
Рис. 5
Выполним дополнительное построение: через точку 
проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. В результате образуются два четырёхугольника: 
и 
, которые являются параллелограммами (по определению – у них противоположные стороны попарно параллельны). Воспользуемся свойством параллелограмма: 
. Но по условию: 
. Но углы 
вместе образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 
. Значит: 
, а 
– прямоугольный.
Обозначим: 
. Так как и – параллелограммы, то: 
. Кроме того: 
. Отсюда: 
и 
– медиана . Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть:
, что и требовалось доказать.
Доказано.
Пример 6.
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что средняя линия трапеции равна её высоте.
Дано: – трапеция (), 
, 
– высота, – средняя линия.
Доказать: 
Доказательство:
Рис. 6
Выполним дополнительное построение: через точку 
проведём прямую, параллельную диагонали 
. Эта прямая пересечёт продолжение основания в точке .
Четырёхугольник 
– параллелограмм (по определению: у него обе пары сторон попарно параллельны, одна пара – по построению, вторая – как основания трапеции). Значит: 
. Но в равнобедренной трапеции диагонали равны: 
– равнобедренный.
Кроме того, по условию диагонали трапеции перпендикулярны. Это значит, что 
. Но, по свойству соответственных углов: 
– прямоугольный.
– высота равнобедренного треугольника 
, а значит, и его медиана (свойство равнобедренного треугольника). Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит: 
.
Но так как – параллелограмм: 
. Получаем: 
(свойство средней линии трапеции), что и требовалось доказать.
Доказано.
На этом уроке мы рассмотрели различные задачи, в которых использовались свойства параллелограмма и трапеции.
На следующих уроках мы начнём изучать различные виды параллелограммов.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Фестиваль педагогических наук "Открытый урок" (Источник).
- Terver.ru (Источник).
- Fmclass.ru (Источник).
Домашнее задание
- Докажите, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой.
- Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине.
- Меньшее основание равнобедренной трапеции равно
. Найдите большее основание трапеции, если высота, проведенная из вершины тупого угла, делит её на отрезки, один из которых равен 
.
