Пример 4.

В трапеции ( – большее основание): диагональ перпендикулярна боковой стороне , а . Периметр трапеции равен , . Найти длину большего основания трапеции.

Дано: – трапеция ( – большее основание), , , .

Найти:

Решение:

Рис. 4

Рассмотрим треугольник : он прямоугольный (так как по условию , в нём . Из того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , следует, что: . В прямоугольном треугольнике с острым углом катет, лежащий против этого угла, в раза меньше гипотенузы. Поэтому, если мы обозначим основание , то .

– равнобедренная трапеция. Значит, . Кроме того, по свойству соответственных углов: – равнобедренный. Поэтому: .

Осталось воспользоваться тем фактом, что периметр трапеции равен : . Значит, большее основание трапеции: .

Ответ: .

Пример 5.

Сумма углов при одном из оснований трапеций равна . Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Дано: – трапеция (), . .

Доказать:

Доказательство:

Рис. 5

Выполним дополнительное построение: через точку проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. В результате образуются два четырёхугольника: и , которые являются параллелограммами (по определению – у них противоположные стороны попарно параллельны). Воспользуемся свойством параллелограмма: . Но по условию: . Но углы вместе образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма равна . Значит: , а – прямоугольный.

Обозначим: . Так как и – параллелограммы, то: . Кроме того: . Отсюда: и – медиана . Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть:, что и требовалось доказать.

Доказано.

Пример 6.

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что средняя линия трапеции равна её высоте.

Дано: – трапеция (), , – высота, – средняя линия.

Доказать:

Доказательство:

Рис. 6

Выполним дополнительное построение: через точку проведём прямую, параллельную диагонали . Эта прямая пересечёт продолжение основания в точке .

Четырёхугольник – параллелограмм (по определению: у него обе пары сторон попарно параллельны, одна пара – по построению, вторая – как основания трапеции). Значит: . Но в равнобедренной трапеции диагонали равны: – равнобедренный.

Кроме того, по условию диагонали трапеции перпендикулярны. Это значит, что . Но, по свойству соответственных углов: – прямоугольный.

– высота равнобедренного треугольника , а значит, и его медиана (свойство равнобедренного треугольника). Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит: .

Но так как – параллелограмм: . Получаем: (свойство средней линии трапеции), что и требовалось доказать.

Доказано.

На этом уроке мы рассмотрели различные задачи, в которых использовались свойства параллелограмма и трапеции.

На следующих уроках мы начнём изучать различные виды параллелограммов.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Фестиваль педагогических наук "Открытый урок" (Источник).
Terver.ru (Источник).
Fmclass.ru (Источник).

Домашнее задание

Докажите, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой.
Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине.
Меньшее основание равнобедренной трапеции равно . Найдите большее основание трапеции, если высота, проведенная из вершины тупого угла, делит её на отрезки, один из которых равен .