Классы
Предметы

Трапеция. Средняя линия

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 150 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Трапеция. Средняя линия

На этом уроке мы поговорим о трапеции, ее свойствах, а также о свойствах средней линии треугольника и трапеции.

Определение трапеции

При изучении треугольников мы рассматривали свойства произвольных треугольников, но особое внимание уделяли частным случаям – прямоугольному, равнобедренному, равностороннему треугольникам.

Это связано с тем, что, во-первых, треугольники таким образом можно классифицировать (по сторонам, по углам), а, во-вторых, наличие дополнительной информации (равенство сторон, прямой угол и т. д.) позволяет получить более конкретные свойства для данного вида треугольников.

Такая же ситуация и с четырехугольниками. Мы мало можем сказать о четырехугольниках вообще (сумма углов, признаки вписанного и описанного четырехугольников). Но для некоторых видов четырехугольника смогли вывести довольно много важных и полезных свойств.

Мы классифицировали четырехугольники по наличию параллельности противоположных сторон. Параллельность даже одной пары сторон уже приводит к тому, что такой четырехугольник обладает большим количеством свойств. Такой четырехугольник называется трапецией (см. рис. 1), и его свойствам мы посвятим сегодняшний урок.

Рис. 1. Трапеция :

Трапеция и параллелограмм в классификации четырехугольников

Если оставить определение трапеции в таком виде: четырехугольник, у которого две стороны параллельны, – то мы получим, что на прошлом уроке мы изучали параллелограммы – частные случаи трапеции (см. рис. 2).

Рис. 2. Классификация, где параллелограмм – частный случай трапеции

Конечно, параллельность сразу двух пар сторон дает гораздо больше свойств – это очень сильное условие.

Поэтому параллелограмм и трапеция (в привычном нам понимании) сильно отличаются, и, чтобы не было путаницы, принято разделять эти два вида четырехугольников. Говорят, что трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. При таком определении параллелограмм перестает быть частным случаем трапеции, а выделяется в отдельное семейство четырехугольников.

Такая классификация общепринята (см. рис. 3), ее мы и будем придерживаться, хотя первый вариант (параллелограмм – частный случай трапеции) тоже имеет право на жизнь.

Рис. 3. Классификация, где параллелограмм и трапеция – отдельные семейства четырехугольников

Мы уже неоднократно это подчеркивали: это все наши определения, поэтому мы можем сами выбирать, к какому классу относить ту или иную фигуру (как и то, является ли банан травой или деревом – природе все равно, классификация придумана человеком).

Свойства равнобедренной и прямоугольной трапеций

Расположим трапецию так, чтобы параллельные стороны были горизонтальны и большая из них находилась внизу. Чаще всего ее именно так и изображают (см. рис. 4).

Рис. 4. Трапецию чаще всего изображают так

Параллельные стороны называют основаниями – верхним и нижним (иногда используют слова «большее» и «меньшее», чтобы точно было понятно, о каком из них идет речь). Другие две стороны – боковыми.

Обратите внимание, что у трапеции всегда одно основание больше другого. Действительно, если бы основания трапеции были равны, то мы бы получили четырехугольник, у которого есть пара равных и параллельных сторон. Но тогда, по признаку параллелограмма, это уже была бы не трапеция, а параллелограмм (мы договорились, что множества этих четырехугольников не должны пересекаться).

Трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник. Поэтому вполне логично, что для нее есть похожая схема классификации – по равенству боковых сторон и по наличию прямого угла (даже названия трапеций будут совпадать с названиями аналогичных видов треугольников).

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой) (см. рис. 5). Если один угол трапеции прямой, то она называется прямоугольной (см. рис. 6).

Рис. 5. Равнобедренная трапеция

Рис. 6. Прямоугольная трапеция

По картинкам можно предположить, что:

  1. в равнобедренной трапеции углы при одном основании равны;
  2. в прямоугольной трапеции будет не один, а сразу два прямых угла.

Докажем, что в равнобедренной трапеции   углы  (см. рис. 7).

Рис. 7. Равнобедренная трапеция  

Доказательство

Через точку  проведем прямую, параллельную . Она пересечет нижнее основание в точке .

Рис. 8. Прямая  параллельная

Тогда  – параллелограмм (), следовательно, . Но, по условию, , значит, . Тогда треугольник  равнобедренный. Значит, углы . Но углы , как соответственные при параллельных прямых. Значит, углы .

Доказано.

Несложно доказать, что равны будут не только углы , но и углы  (они дополняют углы  и  до  как внутренние односторонние).

Верно и обратное утверждение: если у трапеции равны углы при основании, то она равнобедренная. Докажите его самостоятельно, проведя точно такое же дополнительное построение.

Докажем свойство равнобедренной трапеции другим способом, чтобы подчеркнуть аналогию трапеции и треугольника.

Доказательство (другой способ)

Продлим боковые стороны  и  до пересечения (поскольку боковые стороны трапеции непараллельны по определению, то они обязательно пересекутся) в точке  (см. рис. 9).

Рис. 9. Продленные боковые стороны  и  пересекаются в точке

Прямые  и  – параллельные прямые, а значит, по обобщенной теореме Фалеса, они отсекают на сторонах угла  пропорциональные отрезки:

Но отрезки  (т. к. трапеция равнобедренная), значит, раз равны знаменатели, то равны и числители равных дробей:

Но тогда треугольник  равнобедренный:

А значит, у него равны углы при основании:

Доказано.

Эти два дополнительных построения: отрезок, параллельный боковой стороне, и продление боковых сторон до их точки пересечения – два стандартных инструмента, которые могут использоваться для решения различных задач, причем не только с равнобедренной, но и с произвольной трапецией.

Еще один полезный инструмент – отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции. В этом случае получается треугольник, длины сторон которого совпадают с длинами диагоналей, а третья сторона равна сумме длин оснований (т. к.  – параллелограмм: , , а значит, ) (см. рис. 10). При решении некоторых задач это может оказаться полезным, но подробно обо всех этих инструментах мы поговорим во время решения задач.

Рис. 10. Отрезок  параллелен

Посмотрим теперь на диагонали равнобедренной трапеции. В силу симметрии чертежа понятно, что диагонали равны (см. рис. 11). Но докажем это утверждение строго.

Рис. 11. У равнобедренной трапеции диагонали равны

Доказательство

Рассмотрим два треугольника:  и  (см. рис. 12).

Рис. 12. Рассматриваемые треугольники  и

У них есть три равных элемента:

  1.  (как стороны равнобедренной трапеции);
  2.  – общая сторона;
  3. углы  (как углы при основании в равнобедренной трапеции – только что доказали это свойство).

Значит, треугольники равны по первому признаку. Но тогда .

Доказано.

Вернемся к утверждению о свойстве прямоугольной трапеции: в прямоугольной трапеции два прямых угла.

Углы при боковой стороне являются внутренними односторонними при параллельных прямых (основаниях трапеции). Значит, их сумма равна  (см. рис. 13).

Рис. 13. В трапеции :

Понятно, что если один угол прямой, то и второй при этой боковой стороне тоже прямой:

Но выполняется и более общее свойство. В любой трапеции сумма углов при каждой из боковых сторон равна :

Средняя линия трапеции

В треугольниках мы рассматривали такой элемент, как средняя линия – отрезок, соединяющий середины любых двух его сторон (см. рис. 14).

Рис. 14. Отрезок  – средняя линия треугольника

По аналогии такой же элемент можно ввести и для трапеции. При этом он окажется полезным инструментом для описания различных свойств трапеции.

Нас будет интересовать отрезок, соединяющий середины именно боковых сторон трапеции. Такой отрезок называется средней линией трапеции (см. рис. 15).

Рис. 15. Отрезок  – средняя линия трапеции

Поскольку свойства средних линий треугольника и трапеции очень похожи, то рассмотрим их вместе.


 

Линия, соединяющая середины противоположных оснований трапеции

Мы будем изучать свойства средней линии трапеции – линии, которая соединяет середины боковых сторон. Но ведь можно соединить середины двух других сторон трапеции – оснований (см. рис. 16).

Рис 16. Линия, соединяющая середины противоположных оснований трапеции

Что можно сказать про эту линию? Оказывается, у нее тоже есть любопытное свойство. Оказывается, что на этой линии лежат не только середины оснований трапеции, но и точка пересечения боковых сторон и даже точка пересечения диагоналей трапеции, причем это свойство выполняется для любых трапеций.

Чаще всего доказательство того факта, что несколько точек лежат на одной прямой выполняется с помощью удобного инструмента – векторов, который мы будем изучать в  классе. Но и сейчас, в принципе, доказательство этого утверждения нам под силу.

Доказательство

Рассмотрим трапецию , боковые стороны которой пересекаются в точке . Пусть  – середина основания . Продлим прямую  до пересечения с  в точке  (см. рис. 17).

Рис. 17. Трапеция : , ,

Треугольники  и , а также  и  подобны (в каждой паре есть общие углы, а оставшиеся два равны как соответственные при параллельных прямых и секущей). Причем у них одинаковый коэффициент подобия:

Действительно, из первой пары:

Из второй пары:

Приравнивая правые части, получаем:

Но  ( – середина ), значит, равны и знаменатели равных дробей:

Т. е.  – середина . Значит, середины оснований  и  и точка пересечения боковых сторон  лежат на одной прямой.

Доказано.

Точно так же можно доказать и то, что точка  пересечения диагоналей лежит на этой прямой (см. рис. 18).

Рис. 18. Точка пересечения диагоналей лежит на линии, соединяющей середины противоположных оснований трапеции

Доказательство

Рассмотрим прямую  (где  – середина ) и ее точку пересечения с  – точку .

По аналогии: треугольники  и , а также  и  попарно подобны (вертикальные углы + две пары внутренних накрест лежащих).

Из первой пары:

Из второй пары:

Приравнивая правые части, получаем:

Но , значит, . Снова получаем, что точка  должна быть серединой . Значит, середины оснований ,  и точка пересечения диагоналей  лежат на одной прямой.

Доказано.

Но через любые две точки проходит только одна прямая, значит, через точки  и  проходит прямая, на которой лежат и точка , и точка . Мы доказали, что все  точки лежат на одной прямой (см. рис. 19).

Рис. 19. На линии, соединяющей середины противоположных оснований трапеции, лежат середины оснований трапеции (точки  и ), точка пересечения боковых сторон (точка ) и точка пересечения диагоналей трапеции (точка )

Помимо того, что этот факт можно использовать при решении различных задач, стоит заметить, что даже три произвольные точки редко оказываются одновременно на одной прямой (вспомните: если бросить три случайные точки на стол, то они наверняка образуют треугольник, т. е. не будут лежать на одной прямой). А уж четыре точки – это еще бо́льшая редкость. Так что с точки зрения математики этот факт примечателен сам по себе.


 

Теорема о средней линии треугольника

Проведем среднюю линию треугольника (см. рис. 20). Похоже, что она параллельна основанию. Посмотрим, так ли это.

Рис. 20. Отрезок  – средняя линия треугольника

Можно доказать это утверждение, используя подобие треугольников:

Значит:

Но раз равны соответственные углы при секущих, то прямые  и  параллельны.

Более того, поскольку мы знаем коэффициент подобия треугольников, то получили еще одно свойство средней линии треугольника:

Т. е. средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Это утверждение можно было доказать и по-другому, например продлив отрезок  за точку  так, чтобы  (см. рис. 21). А затем доказать, что  – параллелограмм. Можете попробовать сделать это самостоятельно.

Рис. 21. Отрезок  продлен за точку  так, что

Для нас же важен результат, теорема о средней линии треугольника звучит так: средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Верно и обратное утверждение, которое формулируется так: отрезок, проведенный через середину боковой стороны треугольника параллельно основанию, является средней линией треугольника (т. е. проходит через середину другой боковой стороны).

Если предположить, что этот отрезок не совпадает со средней линией, то через эту точку  проходят сразу две прямые, параллельные основанию (отрезок и средняя линия), а это, как мы знаем, противоречит пятому постулату Евклида, поэтому предположение неверное. Значит, отрезок является средней линией треугольника.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь вернемся к трапеции. Проведем среднюю линию (см. рис. 22). Очень похоже, что она тоже параллельна основанию, вернее, обоим основаниям.

Рис. 22. Отрезок  – средняя линия трапеции

Доказательство

Докажем это утверждение. Для этого проведем прямую  до пересечения с основанием  в точке . Рассмотрим полученные треугольники  и  (см. рис. 23).

Рис. 23. Рассматриваемые треугольники  и

По определению средней линии , углы  (как вертикальные), углы  (как внутренние накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции). Значит, треугольники равны по второму признаку равенства (сторона и два угла). Значит, . Но тогда  – средняя линия треугольника , значит:

Кроме того:

 – из доказанного равенства треугольников  и .

Доказано.

Получаем теорему о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их среднему арифметическому (полусумме).

Верно и обратное утверждение, которое формулируется так: отрезок, проведенный через середину боковой стороны трапеции параллельно ее основаниям, является средней линией (т. е. проходит через середину другой боковой стороны).

Доказательство это обратного утверждения точно такое же, как и аналогичного утверждения для треугольника.


 

Другое доказательство теоремы о средней линии трапеции

Попробуем доказать свойства средней линии трапеции по аналогии со свойствами средней линии треугольника. Для этого снова используем уже известный нам инструмент – продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке  (см. рис. 24).

Рис. 24. Боковые стороны трапеции продлены до пересечения в точке

По обобщенной теореме Фалеса параллельные прямые  и  отсекают на сторонах угла  пропорциональные отрезки:

Или:

Но обе части этого равенства можно умножить на :

Но тогда отрезки  и  тоже параллельны (обратная теорема Фалеса: они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, а значит, параллельны).

Можно доказать это и через подобие треугольников  и :

где угол  общий – подобие по первому признаку. Значит:

Правда, мы не доказали, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, но это тоже можно сделать, хотя и довольно громоздко.

Из подобия треугольников  и  получим:

Из подобия треугольников  и  получим:

Из первого равенства:

Подставляем во второе:

Умножим обе части равенства на :

Или:


Сформулируем еще раз обе теоремы о средних линиях:

  1. средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине;
  2. средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Это очень похожие утверждения. Более того, если треугольник считать предельным случаем трапеции, у которой верхнее основание стянулось в точку, то формула для треугольника получается из формулы для трапеции, если считать длину верхнего основания равной нулю.

Площадь трапеции

Еще одной важной характеристикой любой фигуры на плоскости является площадь. Трапеция не исключение. Конечно, мы можем использовать общую формулу площади для всех четырехугольников:

Но хочется получить специфическую формулу, в которой учтены свойства трапеции, выделяющие ее из множества произвольных четырехугольников.

Раз уж мы проводим аналогию между трапецией и треугольником, то нам, видимо, не обойтись без высоты при выводе формулы площади трапеции.

Действительно, раз основания трапеции параллельны, то расстояние между ними постоянно (см. рис. 25) – из какой бы точки одного основания мы ни опустили перпендикуляр на другое, он, во-первых, будет перпендикулярен первому основанию (сумма односторонних углов равна ), а, во-вторых, его длина будет одинакова и не будет зависеть от выбранной точки.

Рис. 25. Расстояние между основаниями трапеции постоянно

Любой такой отрезок, перпендикулярный основаниям трапеции, называется высотой трапеции (см. рис. 26). Чаще всего высоту трапеции проводят из одной из вершин меньшего основания.

Рис. 26. Высота трапеции

Если провести две такие высоты из вершин меньшего основания, то трапеция разобьется на прямоугольник со сторонами  и , а также на два прямоугольных треугольника. У каждого из них один из катетов будет . Обозначим второй катет первого треугольника как , тогда длина второго катета второго треугольника будет равна  (см. рис. 27).

Рис. 27. Введенные обозначения

Запишем площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника и двух прямоугольных треугольников:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

Эту формулу можно получить и по-другому – если продлить боковые стороны трапеции до пересечения и вычислить площадь трапеции как разность площадей двух треугольников (см. рис. 28). Попробуйте сделать это самостоятельно.

Рис. 28. Площадь трапеции  можно вычислить как разность площадей треугольников  и

Поскольку мы знаем, что длина средней линии трапеции равна полусумме оснований, то эту формулу можно переписать так:

где  – средняя линия трапеции:

Т. е. площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Нетрудно и тут увидеть, что формула площади треугольника получается как предельный случай, если одно основание равно нулю:

Аналогично и формула площади параллелограмма получается как другой предельный случай, если основания равны друг другу:

Свойства вписанной и описанной трапеций

Теперь, когда мы вывели основные свойства трапеции, ввели такие элементы, как средняя линия и высота, а также обсудили классификацию (равнобедренная и прямоугольные трапеции), можно поговорить еще о нескольких свойствах, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Когда мы изучали параллелограммы и их частные случаи (прямоугольники, ромбы, квадраты), то говорили о симметрии некоторых из них. Есть ли у трапеций оси или центр симметрии?

Попробуйте сами убедиться, что ни у какой трапеции не может быть центра симметрии, а ось симметрии есть только у одного вида – у равнобедренных трапеций (см. рис. 29). И проходит эта ось через середины оснований, перпендикулярно им. Здесь тоже наблюдается аналогия с треугольниками: осью симметрии обладают только равнобедренные треугольники.

Рис. 29. Осевая симметрия есть только у равнобедренной трапеции

Еще один вопрос, который мы обсуждали, – вписанные и описанные параллелограммы. Попробуем дать на него ответ и для трапеций.

Начнем с вписанной трапеции (см. рис. 30).

Рис. 30. Вписанная трапеция

Свойство вписанного четырехугольника: суммы противоположных углов равны . Но у любой трапеции суммы смежных углов при боковых сторонах равны . Значит, если трапеция вписана, то:

Значит:

Аналогично:

Значит, вписанная трапеция обязательно будет равнобедренной.

Об описанной трапеции какой-то дополнительной информации получить нельзя, поэтому остается пользоваться свойством описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны.

Свойство равнобедренной трапеций, связанное с высотой

Проведем в равнобедренной трапеции  высоту . Проведем  параллельно  (рис. 31).

Рис. 31.  – высота равнобедренной трапеции ,

Т. к.  – параллелограмм (противоположные стороны попарно параллельны), то:

Но тогда  – равнобедренный треугольник, поэтому  – высота и медиана, получаем:

При этом:

Получаем:

Откуда:

Несложно получить, что длина  равна длине средней линии:

Первое равенство  понятно, если провести вторую высоту . Ясно, что отрезки  и  равны. При этом отрезок  равен основанию  ( – прямоугольник), значит:

Запоминать эти формулы необязательно, при необходимости вы всегда сможете легко их вывести.

Заключение

На этом уроке мы подробно разобрали еще один вид четырехугольников – трапеции. Обсудили их свойства, классификацию. Следующий урок мы посвятим практике и решению задач, в которых встречаются различные четырехугольники.

 

Списоклитературы

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. –М.: «Просвещение», 2018.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.:«Просвещение», 2018.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. –М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
  2. Интернет-портал math-prosto.ru (Источник)
  3. Интернет-портал «схемо.рф» (Источник)

 

Домашнеезадание

  1. В прямоугольной трапеции острый угол равен , а меньшее основание и бо́льшая боковая сторона равны по . Найти длину большего основания.
  2. Острый угол равнобедренной трапеции равен , боковая сторона равна , а большее основание равно . Найти длину средней линии трапеции.
  3. Длины оснований трапеции относятся как , а ее высота равна . Вычислить длины оснований трапеции, если ее площадь равна .