Расположим трапецию так, чтобы параллельные стороны были горизонтальны и большая из них находилась внизу. Чаще всего ее именно так и изображают (см. рис. 4).

Рис. 4. Трапецию чаще всего изображают так

Параллельные стороны называют основаниями – верхним и нижним (иногда используют слова «большее» и «меньшее», чтобы точно было понятно, о каком из них идет речь). Другие две стороны – боковыми.

Обратите внимание, что у трапеции всегда одно основание больше другого. Действительно, если бы основания трапеции были равны, то мы бы получили четырехугольник, у которого есть пара равных и параллельных сторон. Но тогда, по признаку параллелограмма, это уже была бы не трапеция, а параллелограмм (мы договорились, что множества этих четырехугольников не должны пересекаться).

Трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник. Поэтому вполне логично, что для нее есть похожая схема классификации – по равенству боковых сторон и по наличию прямого угла (даже названия трапеций будут совпадать с названиями аналогичных видов треугольников).

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой) (см. рис. 5). Если один угол трапеции прямой, то она называется прямоугольной (см. рис. 6).

Рис. 5. Равнобедренная трапеция

Рис. 6. Прямоугольная трапеция

По картинкам можно предположить, что:

в равнобедренной трапеции углы при одном основании равны;
в прямоугольной трапеции будет не один, а сразу два прямых угла.

Докажем, что в равнобедренной трапеции углы (см. рис. 7).

Рис. 7. Равнобедренная трапеция

Доказательство

Через точку проведем прямую, параллельную . Она пересечет нижнее основание в точке .

Рис. 8. Прямая параллельная

Тогда – параллелограмм (), следовательно, . Но, по условию, , значит, . Тогда треугольник равнобедренный. Значит, углы . Но углы , как соответственные при параллельных прямых. Значит, углы .

Доказано.

Несложно доказать, что равны будут не только углы , но и углы (они дополняют углы и до как внутренние односторонние).

Верно и обратное утверждение: если у трапеции равны углы при основании, то она равнобедренная. Докажите его самостоятельно, проведя точно такое же дополнительное построение.

Докажем свойство равнобедренной трапеции другим способом, чтобы подчеркнуть аналогию трапеции и треугольника.

Доказательство (другой способ)

Продлим боковые стороны и до пересечения (поскольку боковые стороны трапеции непараллельны по определению, то они обязательно пересекутся) в точке (см. рис. 9).

Рис. 9. Продленные боковые стороны и пересекаются в точке

Прямые и – параллельные прямые, а значит, по обобщенной теореме Фалеса, они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:

Но отрезки (т. к. трапеция равнобедренная), значит, раз равны знаменатели, то равны и числители равных дробей:

Но тогда треугольник равнобедренный:

А значит, у него равны углы при основании:

Доказано.

Эти два дополнительных построения: отрезок, параллельный боковой стороне, и продление боковых сторон до их точки пересечения – два стандартных инструмента, которые могут использоваться для решения различных задач, причем не только с равнобедренной, но и с произвольной трапецией.

Еще один полезный инструмент – отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции. В этом случае получается треугольник, длины сторон которого совпадают с длинами диагоналей, а третья сторона равна сумме длин оснований (т. к. – параллелограмм: , , а значит, ) (см. рис. 10). При решении некоторых задач это может оказаться полезным, но подробно обо всех этих инструментах мы поговорим во время решения задач.

Рис. 10. Отрезок параллелен

Посмотрим теперь на диагонали равнобедренной трапеции. В силу симметрии чертежа понятно, что диагонали равны (см. рис. 11). Но докажем это утверждение строго.

Рис. 11. У равнобедренной трапеции диагонали равны

Доказательство

Рассмотрим два треугольника: и (см. рис. 12).

Рис. 12. Рассматриваемые треугольники и

У них есть три равных элемента:

(как стороны равнобедренной трапеции);
– общая сторона;
углы (как углы при основании в равнобедренной трапеции – только что доказали это свойство).

Значит, треугольники равны по первому признаку. Но тогда .

Доказано.

Вернемся к утверждению о свойстве прямоугольной трапеции: в прямоугольной трапеции два прямых угла.

Углы при боковой стороне являются внутренними односторонними при параллельных прямых (основаниях трапеции). Значит, их сумма равна (см. рис. 13).

Рис. 13. В трапеции :

Понятно, что если один угол прямой, то и второй при этой боковой стороне тоже прямой:

Но выполняется и более общее свойство. В любой трапеции сумма углов при каждой из боковых сторон равна :