Одна из главных особенностей окружности – это то, что любая окружность задается всего одним параметром (с точностью до расположения) – радиусом (см. рис. 6).

Рис. 6. Окружность задается радиусом

Кроме того, все окружности подобны друг другу (см. рис. 7).

Рис. 7. Окружности подобны

Это означает, что если в несколько раз увеличить или уменьшить радиус или диаметр окружности, то ровно во столько же раз изменится длина окружности . Это означает, что отношение длины окружности к диаметру для любой окружности одно и то же:

Эта величина не является рациональным числом, т. е. ее нельзя точно записать в виде отношения двух целых чисел, конечной десятичной или хотя бы периодической десятичной дроби.

Поэтому для этого числа ввели специальный символ , которым обозначается это иррациональное число. Несложно оценить эту величину.

Если описать вокруг окружности квадрат и вписать в нее квадрат (см. рис. 8), то можно получить такую оценку (периметр вписанного квадрата меньше длины окружности, а описанного – больше):

Рис. 8. Вокруг окружности описали и вписали квадрат

Длина стороны вписанного квадрата равна:

Тогда:

Длина стороны описанного квадрата равна:

Тогда:

Тогда:

Если увеличивать количество сторон вписанного и описанного правильных многоугольников, все больше и больше приближая их к окружности, то получаемая оценка числа будет все точнее и точнее.

При решении задач и мы будем чаще всего использовать приближение , если иное не оговорено в условии.

Приближения числа

Архимед для уточнения значения числа увеличивал число вершин в правильных многоугольниках, которые он вписывал в окружность и описывал вокруг окружности. Это очень трудоемкий процесс.

Архимед дошел до -угольников, что дало ему возможность показать, что число находится в интервале:

Это соответствует точности два знака после запятой в десятичной записи, что мы обычно и используем в расчетах:

Существуют алгебраические способы оценки этого отношения без использования геометрических фигур. Например, число равно сумме такого бесконечного ряда:

Это равенство открыл индийский математик Мадхава примерно в году.

Чем больше дробей в скобках взять для расчета, тем точнее мы получим десятичное приближение числа . Проблема в том, что такой ряд очень медленно приближается к числу (говорят, что он медленно сходится). Нужно взять около дробей в скобках, чтобы получить оценку Архимеда. Однако сам Мадхава немного улучшил свою формулу и получил точных знаков после запятой для числа.

Развитие математических методов в целом давало и новые возможности уточнения значения числа . Например, Исаак Ньютон предложил удобную формулу, которая использует тригонометрические функции. В XIX веке получили уже более знаков числа .

В эпоху компьютеров стало возможным вычислить невероятное число знаков десятичного разложения числа . Сейчас они оцениваются триллионами или больше.