08. Теорема о пересечении высот треугольника

Свойства серединного перпендикуляра

Для данного урока нам полезно знать свойства серединного перпендикуляра к отрезку и свойство трех серединных перпендикуляров треугольника.

Задан треугольник .  – серединный перпендикуляр к ,  – серединный перпендикуляр к ,  – серединный перпендикуляр к (см. Рис. 1).

Точка равноудалена от вершин треугольника, .

Переходим к рассмотрению центральной теоремы данного урока.

Теорема о пересечении высот треугольника

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра (см. Рис. 2).

Ортоцентр остроугольного треугольника

Задан треугольник , , , .

Доказать, что .

Доказательство:

Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам: через вершину – прямую , через вершину – прямую , через вершину – прямую .

Получили новый треугольник , рассмотрим его свойства (см. Рис. 3).

, значит, . Аналогично . Отсюда четырехугольник  является параллелограммом.

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда , .

Аналогично ,  по построению. Четырехугольник  – параллелограмм. Отсюда , .

, , отсюда . Таким образом, точка – середина отрезка , а значит, высота в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.

Аналогичные действия можно выполнить для вершин и . Получим, что – середина отрезка , – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; – середина , – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.

Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике , , пересекутся в одной точке – в точке . Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника  пересекаются в одной точке , что и требовалось доказать.

В треугольнике все медианы и биссектрисы принадлежат треугольнику, чего нельзя сказать о высотах. В остроугольном треугольнике каждая высота принадлежит треугольнику.

Задача

Треугольник  остроугольный, – высота (см. Рис. 4). Доказать, что основание высоты – это внутренняя точка отрезка .

Дано: треугольник , , , , .

Доказать, что – это внутренняя точка отрезка .

Доказательство:

Докажем от противного: пусть – это высота, и точка не является точкой отрезка (см. Рис. 5).

Тогда угол  – внешний угол для треугольника . Внешний угол равен сумме внутренних углов треугольника, несмежных с ним, то есть углов  и , то есть сумме прямого угла и какого-то острого угла, а данная сумма будет больше , то есть угол  будет тупой, что противоречит условию.

Таким образом, основание высоты треугольника является внутренней точкой отрезка .

Сделаем вывод: аналогичное доказательство можно выполнить для двух других высот остроугольного треугольника , отсюда все три высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника, точка их пересечения – ортоцентр – находится внутри треугольника.

Ортоцентр тупоугольного треугольника

Рассмотрим тупоугольный треугольник и докажем, что его ортоцентр находится вне треугольника (см. Рис. 6).

Задан треугольник ,  тупой. – высота треугольника. Докажем, что точка – основание высоты – не принадлежит отрезку .

От противного: пусть точка принадлежит отрезку . Тогда треугольник  не существует, т.к. сумма тупого угла  и прямого угла  больше . Таким образом, основание высоты расположено на продолжении отрезка .

Аналогично можно выполнить доказательство для высоты , получим, что ее основание также лежит на продолжении отрезка . Таким образом, точка пересечения данного треугольника лежит вне треугольника.

Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели теорему о пересечении высот треугольника, на следующем уроке мы рассмотрим окружность, вписанную в треугольник.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Домашнее задание

1. Задание 1 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9, № 685, ст. 180.

2. Задание 2 – доказать, что шесть углов остроугольного треугольника, образованных при пересечении высот треугольника, попарно равны углам треугольника.

3. Задание 3 – докажите, что если две замечательные точки треугольника совпадают, то треугольник равносторонний. Рассмотрите все возможные случаи.