Теорема о пересечении высот треугольника

Тема: Окружность

Урок: Теорема о пересечении высот треугольника

1. Свойства серединного перпендикуляра

Для данного урока нам полезно знать свойства серединного перпендикуляра к отрезку и свойство трех серединных перпендикуляров треугольника.

Задан треугольник .  – серединный перпендикуляр к ВС, – серединный перпендикуляр к АС, – серединный перпендикуляр к АВ (см. Рис. 1).

Точка О равноудалена от вершин треугольника,

Рис. 1

Переходим к рассмотрению центральной теоремы данного урока.

2. Теорема о пересечении высот треугольника

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра (см. Рис. 2).

3. Ортоцентр остроугольного треугольника

Задан треугольник , , , .

Доказать, что

Рис. 2

Доказательство:

Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам:

через вершину А – прямую ,

через вершину В – прямую ,

через вершину С – прямую .

Получили новый треугольник , рассмотрим его свойства (см. Рис. 3).

, значит,  . Аналогично . Отсюда четырехугольник  является параллелограммом.

Рис. 3

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда , .

Аналогично ,  по построению. Четырехугольник  – параллелограмм. Отсюда , .

, , отсюда . Таким образом, точка А – середина отрезка , а значит, высота АА₁ в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.

Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В – середина отрезка , ВВ₁ – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С – середина , СС₁ – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.

Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекутся в одной точке – в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.

В треугольнике все медианы и биссектрисы принадлежат треугольнику, чего нельзя сказать о высотах. В остроугольном треугольнике каждая высота принадлежит треугольнику.

Задача

Треугольник  остроугольный, АА₁ – высота (см. Рис. 4). Доказать, что основание высоты А₁ – это внутренняя точка отрезка ВС.

Дано: треугольник , , , ,

Доказать, что А₁ – это внутренняя точка отрезка ВС

Рис. 4

Доказательство:

Докажем от противного: пусть АА₂ – это высота, и точка А₂ не является точкой отрезка ВС (см. Рис. 5).

Тогда угол  – внешний угол для треугольника . Внешний угол равен сумме внутренних углов треугольника, несмежных с ним, то есть углов  и , то есть сумме прямого угла и какого-то острого угла, а данная сумма будет больше , то есть угол  будет тупой, что противоречит условию.

Рис. 5

Таким образом, основание высоты треугольника является внутренней точкой отрезка ВС.

Сделаем вывод: аналогичное доказательство можно выполнить для двух других высот остроугольного треугольника , отсюда все три высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника, точка их пересечения – ортоцентр – находится внутри треугольника.

4. Ортоцентр тупоугольного треугольника

Рассмотрим тупоугольный треугольник и докажем, что его ортоцентр находится вне треугольника (см. Рис. 6).

Задан треугольник ,  тупой. АА₁ – высота треугольника. Докажем, что точка В₁ – основание высоты ВВ₁ – не принадлежит отрезку АС.

От противного: пусть точка В₁ принадлежит отрезку АС. Тогда треугольник  не существует, т.к. сумма тупого угла  и прямого угла  больше . Таким образом, основание высоты ВВ₁ расположено на продолжении отрезка АС.

Рис. 6

Аналогично можно выполнить доказательство для высоты СС₁, получим, что ее основание также лежит на продолжении отрезка АВ. Таким образом, точка пересечения данного треугольника лежит вне треугольника.

5. Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели теорему о пересечении высот треугольника, на следующем уроке мы рассмотрим окружность, вписанную в треугольник.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Home-edu.ru (Источник).
2. Mat.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9, № 685, ст. 180.
2. Задание 2 – доказать, что шесть углов остроугольного треугольника, образованных при пересечении высот треугольника, попарно равны углам треугольника.
3. Задание 3 – докажите, что если две замечательные точки треугольника совпадают, то треугольник равносторонний. Рассмотрите все возможные случаи.