Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра.

Задан треугольник , скажем для определенности, что он остроугольный (см. Рис. 1). Ничего не изменится, если мы возьмем тупоугольный треугольник.

, , .

Доказать, что

Рис. 1

Доказательство:

Мы хотим свести доказательство к предыдущим уже доказанным теоремам, например, теореме о пересечении серединных перпендикуляров.

Для этого проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам (см. Рис. 2):

через вершину А – прямую ,

через вершину В – прямую ,

через вершину С – прямую .

Рис. 2

Получили новый треугольник , рассмотрим его свойства.

, значит, . Аналогично . Отсюда четырехугольник является параллелограммом.

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда , .

Аналогично , по построению. Четырехугольник – параллелограмм. Отсюда , .

, , отсюда . Таким образом, точка А – середина отрезка , а значит, высота АА₁ в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.

Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В – середина отрезка , ВВ₁ – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С – середина , СС₁ – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.

Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекутся в одной точке – в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.

Мы доказали теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника, самостоятельно вы можете доказать эту же теорему, если треугольник не является остроугольным. Например, если треугольник прямоугольный, ортоцентр совпадает с вершиной, угол при которой прямой, т.к. две из высот совпадают с катетами, а третья выходит из этой вершины (см. Рис. 3).

Рис. 3

Рассмотрим шуточную задачу, которая позволит вспомнить многие важные факты.