Тема: Окружность
Урок: Точка пересечения высот треугольника
1. Теорема о пересечении высот треугольника
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра.
Задан треугольник 
, скажем для определенности, что он остроугольный (см. Рис. 1). Ничего не изменится, если мы возьмем тупоугольный треугольник.
, 
, 
.
Доказать, что 
Рис. 1
Доказательство:
Мы хотим свести доказательство к предыдущим уже доказанным теоремам, например, теореме о пересечении серединных перпендикуляров.
Для этого проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам (см. Рис. 2):
через вершину А – прямую 
,
через вершину В – прямую 
,
через вершину С – прямую 
.
Рис. 2
Получили новый треугольник 
, рассмотрим его свойства.
, значит, 
. Аналогично 
. Отсюда четырехугольник 
является параллелограммом.
Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда 
, 
.
Аналогично 
, 
по построению. Четырехугольник 
– параллелограмм. Отсюда 
, 
.
, , отсюда 
. Таким образом, точка А – середина отрезка 
, а значит, высота АА1 в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.
Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В – середина отрезка 
, ВВ1 – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С – середина 
, СС1 – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.
Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в одной точке – в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника
пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.
Мы доказали теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника, самостоятельно вы можете доказать эту же теорему, если треугольник не является остроугольным. Например, если треугольник прямоугольный, ортоцентр совпадает с вершиной, угол при которой прямой, т.к. две из высот совпадают с катетами, а третья выходит из этой вершины (см. Рис. 3).
Рис. 3
Рассмотрим шуточную задачу, которая позволит вспомнить многие важные факты.
2. Решение задачи
Задача
Задана окружность с центром в точке О и диаметром АВ. Точка С вне окружности. Пользуясь только линейкой, опустить перпендикуляр на прямую АВ из точки С (см. Рис. 4).
Рис. 4
Решение:
Проведем прямую АС, получаем точку М пересечения проведенной прямой с окружностью.
Проведем прямую ВС, получаем точку N пересечения проведенной прямой с окружностью.
Проведем прямые AN и ВМ, получим их точку пересечения Н (см. Рис. 5).
Доказать, что 
.
Рис. 5
Доказательство:
Мы изучили теоремы о вписанных углах и следствия из них. Согласно одному из таких следствий, вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, отсюда:
.
Напомним, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Итак, 
, отсюда ВМ – высота треугольника . Также
, AN – высота треугольника .
Две высоты треугольника пересекаются в точке Н, мы знаем, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, значит, и третья высота пройдет через точку Н. отсюда СК – высота треугольника, СК⊥АВ, что и требовалось доказать.
3. Выводы по уроку
Итак, на данном уроке мы рассмотрели теорему о пересечении высот треугольника и решили шуточную задачу, в которой вспомнили некоторые важные геометрические факты.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Задание 1 – доказать теорему о пересечении высот для прямоугольного треугольника.
- Задание 2 – доказать теорему о пересечении высот для остроугольного треугольника.
- Задание 3 – задана окружность с центром О и радиусом АВ. Точка С лежит внутри окружности. При помощи только линейки построить перпендикуляр из точки С на прямую АВ.
