Около любого треугольника можно описать окружность.

Итак, задан треугольник . Проведем серединный перпендикуляр р₁ к стороне треугольника ВС, р₂ – к стороне АВ, р₃ – к стороне АС (см. Рис. 2).

Согласно теореме о свойствах серединных перпендикуляров, точка, принадлежащая серединному перпендикуляру к отрезку, равноудалена от концов отрезка. Отсюда , т.к. точка Q принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС. Аналогично и . Таким образом, точка Q равноудалена от вершин треугольника. Отсюда QA, QB, QC – радиусы

Рис. 2

окружности, описанной около треугольника . Обозначим радиус за R. Точка О пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.

Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника (см. Рис. 3).

Вспомним свойства точки, лежащей на биссектрисе угла.

Задан угол , его биссектриса – AL, точка М лежит на биссектрисе.

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Рис. 3

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Кроме того, катеты . Таким образом, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Итак, вернемся к четырехугольнику. Первым действием нужно провести в нем биссектрисы.

Все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке – точке О, центре вписанной окружности.

Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания (см. Рис. 3).

Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой, таким образом, из каждой вершины выходит пара равных касательных: , , , .

Рис. 3

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:

; ; ; ;

;

Раскроем скобки:

;

Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.