Вписанная и описанная окружности

Тема: Окружность

Урок: Вписанная и описанная окружности

 

1. Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Прежде всего, речь идет о вписанных и описанных окружностях относительно треугольника. Мы подготовлены к этой теме, так как изучили свойства биссектрис и серединных перпендикуляров треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность (см. Рис. 1).

Рис. 1

Доказательство:

Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – пусть в точке О. Проведем биссектрисы АО, ВО, СО. Точка их пересечения О равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла  – АС и АВ, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов  и , таким образом, от трех сторон треугольника.

Опустим перпендикуляры из точки О на стороны треугольника – ОМ на сторону АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки О до сторон треугольника, и они равны:

.

Обозначим расстояние от точки О до сторон треугольника за r и рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом r.

Окружность касается прямой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и радиус ОК, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой АВ. Аналогично окружность касается прямых АС и ВС. Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.

Итак, три биссектрисы треугольника пересекаются в точке, являющейся центром вписанной окружности.

Рассмотрим еще одну теорему, она касается точки пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Мы знаем, что они пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром описанной около треугольника окружности.

2. Теорема об окружности, описанной около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность.

Итак, задан треугольник . Проведем серединный перпендикуляр р₁ к стороне треугольника ВС, р₂ – к стороне АВ, р₃ – к стороне АС (см. Рис. 2).

Согласно теореме о свойствах серединных перпендикуляров, точка, принадлежащая серединному перпендикуляру к отрезку, равноудалена от концов отрезка. Отсюда , т.к. точка Q принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС. Аналогично  и . Таким образом, точка Q равноудалена от вершин треугольника. Отсюда QA, QB, QC – радиусы

Рис. 2

окружности, описанной около треугольника . Обозначим радиус за R. Точка О пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.

Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника (см. Рис. 3).

Вспомним свойства точки, лежащей на биссектрисе угла.

Задан угол , его биссектриса – AL, точка М лежит на биссектрисе.

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

 

Рис. 3

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы  и  равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Кроме того, катеты . Таким образом, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Итак, вернемся к четырехугольнику. Первым действием нужно провести в нем биссектрисы.

Все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке – точке О, центре вписанной окружности.

Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания (см. Рис. 3).

Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой, таким образом, из каждой вершины выходит пара равных касательных: , , , .

Рис. 3

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:

; ; ; ;

;

Раскроем скобки:

;

Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.

3. Теорема об окружности, вписанной в четырехугольник

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Справедлива обратная теорема.

Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника.

Заданы окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD. Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в одной точке: эта точка – центр описанной окружности.

Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Есть другой признак. Рассмотрим угол ےА, это вписанный угол окружности, он опирается на дугу  и измеряется половиной градусной меры данной дуги (см. Рис. 4). Обозначим угол ےА за , тогда дуга . Аналогично обозначим противоположный угол ےС за , он вписан в окружность и опирается на дугу . Отсюда дуга .

Рис. 4

Дуги  и  составляют полную окружность. Отсюда:

,

Поделим полученное выражение на два, получаем:

Итак, мы доказали прямую теорему.

Теорема

Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет .

Это есть необходимый и достаточный признак, то есть справедлива обратная теорема.

4. Теорема об окружности, описанной около четырехугольника

Если сумма противоположных углов четырехугольника составляет , около этого четырехугольника можно описать окружность.

На основании данных теорем отметим, что вокруг параллелограмма нельзя описать окружность, так как его противоположные углы равны, и их сумма не равна  (см. Рис. 5).

Рис. 5

Около параллелограмма можно было бы описать окружность, если бы его противоположные углы были равны по 90°, то есть если бы он был прямоугольником, таким образом, около прямоугольника можно описать окружность (см. Рис. 6).

Рис. 6

Около ромба также нельзя описать окружность, но можно вписать, так как все стороны ромба равны, и таким образом, суммы противоположных сторон ромба равны.

Кроме того, у ромба каждая диагональ является биссектрисой, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон ромба (см. Рис. 7).

Рис. 7

5. Выводы по уроку

Итак, мы доказали, что в любой треугольник можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника. Мы также доказали, что около любого треугольника можно описать окружность, и ее центр совпадет с точкой пересечения серединных перпендикуляров. Кроме того, мы увидели, что в некоторые четырехугольники можно вписать окружность, и для этого нужно, чтобы суммы противоположных сторон четырехугольника были равны. Мы также показали, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность, и необходимым и достаточным условием для этого является равенство суммы противоположных углов .

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).
2. Mschool.kubsu.ru (Источник).
3. Ege-study.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1 – найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус вписанной в него окружности – 5 см.
2. Задание 2 – биссектриса угла А равнобедренного треугольника  пересекает описанную около него окружность в точкe D. Найдите углы ےА, ےВ и ےС, если угол ےBDC = 70°.
3. Задание 3 – докажите, что сумма катетов прямоугольного треугольника равна сумме диаметров описанной и вписанной окружности.