Введение
Параллелограммом называется такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
; 
Если 
– основание, тогда перпендикуляр 
называется высотой параллелограмма.
Перпендикуляр можно опустить из любой точки прямой 
, например, перпендикуляр из точки 
– это 
. Их длины равны хотя бы из свойств параллелограмма 
(у этого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, значит, он параллелограмм, а значит, 
).
Сформулируем центральную теорему данного урока.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Доказательство
Имеем равные треугольники: 
. Почему они равны? Во-первых, они прямоугольные, во-вторых, они имеют равные гипотенузы 
(по свойству параллелограмма) и одинаковые острые углы 
. Следовательно, треугольники равны (см. Рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к доказательству
Из равенства треугольников вытекает, что их площади тоже равны: 
.
Далее рассмотрим площадь трапеции 
.
Эта площадь состоит из площади параллелограмма 
и треугольника 
. С другой стороны, эта же трапеция состоит из прямоугольника 
и треугольника 
.
Что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали важную теорему: площадь параллелограмма равняется произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Если за основание взять другую сторону параллелограмма, а именно сторону 
, перпендикуляр 
будет высотой параллелограмма, проведенной к основанию. Тогда площадь параллелограмма будет равняться: 
(см. Рис. 3).
Рис. 3. Параллелограмм
Итак, мы рассмотрели основную теорему и теперь решим задачи на нее.
Задача 1
Задан параллелограмм . Найти площадь 
параллелограмма, если:
a) 
; 
(
– перпендикуляр, опущенный из вершины 
на прямую ).
Решение (рис. 4)
Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1(a)
– основание, – перпендикуляр, проведенный к этому основанию, тогда:
Ответ: 50.
b) 
; 
(
)
Решение (рис. 5)
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1(b)
– основание, 
– высота, тогда:
Ответ: 60.
Задача 2
– параллелограмм. Найти площадь параллелограмма, если 
; 
; 
Решение:
Проведем 
. – высота (рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче 2
Найдем из прямоугольного треугольника . Катет, лежащий напротив угла 
, равен половине гипотенузы. Значит, 
.
Высоту мы нашли, основание известно, значит, площадь равна:
Ответ: 21.
Задача 3
В параллелограмме 
, 
, 
– высота. Найти другую высоту .
Решение (рис. 7):
Рис. 7. Иллюстрация к задаче 3
Высота входит в формулу площади параллелограмма, посчитаем площадь двумя способами: через одну высоту и через другую высоту.
Ответ: 
.
В этой задаче мы имели длины двух сторон и одну высоту. Мы нашли вторую высоту через площадь параллелограмма.
Задача 4
Острый угол параллелограмма равен , а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 2 и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4
Есть параллелограмм . Проведем из вершины 
высоты и 
к прямой и 
(рис. 8) соответственно. Не нарушая общности, мы приняли высоту за меньшую из высот.
Итак, есть две высоты данного параллелограмма, но нет длины оснований.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, с углом в , катет, лежащий против этого угла, равен 2. Значит, гипотенуза 
.
Теперь мы имеем основание и высоту , которая проведена к этому основанию.
Ответ: 
.
Задача 5
Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 
. Найдите площадь ромба.
Решение (рис. 9):
Рис. 9. Иллюстрация к задаче 5
Вспомним, что такое ромб и каковы его основные свойства.
Ромбом называется параллелограмм, у которого смежные стороны равны.
Свойства ромба:
· Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам.
· Расстояние между и и расстояние между и – равны.
То есть у параллелограмма разные высоты, а у ромба – одинаковые.
Если мы проведем высоту 
, то получим прямоугольный треугольник 
. Стороны ромба равны друг другу, значит, .
Рис. 10. Иллюстрация к задаче 5
Рассмотрим треугольник 
и из него найдем высоту (рис. 10).
– высота, – гипотенуза, а 
(у любого параллелограмма сумма углов при стороне равна 
). Так как – катет, лежащий напротив угла в прямоугольном треугольнике :
Теперь у нас есть и основание, и высота, значит, площадь ромба:
Ответ: 
.
Задача 6
В параллелограмме из точки проведена биссектриса 
и перпендикуляр 
к прямой . 
; 
. Найти площадь параллелограмма.
Решение:
Рис. 11. Иллюстрация к задаче 6
– высота, которая проведена из вершины к прямой . Чтобы найти площадь, нам нужно узнать длину стороны 
. Каким образом нам ее найти?
Проведена биссектриса , а значит, , но прямые и параллельны, – секущая. Значит, 
как накрест лежащие углы.
Тогда имеем треугольник 
, в котором 
, то есть это равнобедренный треугольник. 
.Значит, 
.
Теперь знаем всё, чтобы найти площадь:
Ответ: 
.
Заключение
Мы доказали важную теорему: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, которая опущена на это основание. Решили типовые задачи на использование данной теоремы.
Список литературы
1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
4. Л.С. Атанасян и др. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет портал «Презентации для школьников» (Источник)
2. Интернет портал «Я Класс» (Источник)
3. Интернет портал «MyShared» (Источник)
Домашнее задание
1. В параллелограмме 
высота 
равна 
. Найдите площадь параллелограмма, если 
.
2. У параллелограмма все стороны равны 4 см, а один из его углов . Найдите площадь параллелограмма.
3. В параллелограмме из точки 
проведена биссектриса 
и перпендикуляр к прямой 
. 
; 
. Найдите площадь 
параллелограмма.
