Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равняется , а диагонали взаимоперпендикулярны (см. Рис. 6).

Дано:; ;

– высота.

Найти:.

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 5

Важную роль здесь играют диагонали.

Проведем параллельно . Получим треугольник и параллелограмм (противоположные стороны и параллельны по условию, параллельно по построению).

Диагонали трапеции перпендикулярны и равны между собой и , а значит, треугольник – равнобедренный и прямоугольный.

Далее докажем, что площади треугольников и равны.

, так как .

(мы отняли площадь одного треугольника и добавили площадь треугольника ).

Треугольник , во-первых, равнобедренный, во-вторых, у него известна высота, опущенная из вершины , значит, его площадь можно найти (см. Рис. 7).

Рис. 7. Треугольник

Высота треугольника является и биссектрисой, и медианой, значит, отрезок – гипотенуза, равняется .

Ответ:.