Площадь трапеции

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две портивоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Рис. 1. Трапеция

Дана трапеция  (см. Рис. 1). Параллельные стороны  и  называются основаниями, а  и  – боковые стороны.  – диагональ трапеции. Из точки  опустим перпендикуляр  на  – получим высоту трапеции.

Прямые  и  параллельны, поэтому можно из точки  опустить перпендикуляр на прямую , получить точку , и еще раз получить высоту трапеции.

, потому что четырехугольник  по меньшей мере параллелограмм, противоположные стороны  и  параллельны по условию, противоположные стороны ,  – параллельны как два перпендикуляра параллельным прямым. В прямоугольнике противоположные стороны равны, а значит, .

Мы вспомнили, что такое трапеция, каковы ее основные элементы.

Площадь трапеции

Теорема

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство (см. Рис. 1)

Чтобы доказать эту теорему, ее нужно свести к предыдущей, которую мы знаем. Мы знаем, как находить площадь треугольника.

Разобьем трапецию на два треугольника,  и , и используем свойство площади любого многоугольника.

ч. т. д.

Задача 1

По рисунку 2, где  – трапеция, найдите ее площадь.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Нам известно основание , , боковая сторона  и . Надо найти площадь трапеции. Нам не хватает высоты, значит задача сводится к нахождению высоты. Для ее нахождения нам нужно выбрать удобную точку, из которой мы и проведем высоту. Такой точкой является точка . Проведем перпендикуляр  на  и рассмотрим треугольник .

Этот треугольник прямоугольный, с углом . Мы знаем свойство такого треугольника: катет, лежащий против угла в тридцать градусов, равен половине гипотенузы.

Ответ:.

Задача 2

Найти площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны по 6 см, а больший угол равен  (см. Рис. 3).

Решение

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Для нахождения площади нам нужна высота. Из точки  опустим перпендикуляр , и получим высоту.

Перпендикуляр  делит угол  на угол  и . А раз этот угол 45 градусов, значит, угол  тоже 45 градусов. Треугольник  – прямоугольный, а четырехугольник  – квадрат, потому что противоположные стороны параллельны, а смежные стороны равны между собой и хотя бы один из углов равен 90 градусов.

Теперь найдем , этот отрезок состоит из отрезка , который равен 6, и из отрезка , который также равен 6, потому что треугольник  – равнобедренный (углы при основании равны) и .

Ответ:.

Задача 3

В трапеции  c основаниями  и  проведены диагонали, они пересекаются в точке . Доказать, что треугольник  равновелик треугольнику  (см. Рис. 4).

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 3

Диагонали трапеции рассекают ее на четыре треугольника. Два треугольника примыкают к боковым сторонам. Нужно доказать, что в любой трапеции такие треугольники равновелики.

Рассмотрим треугольники  и . Они равновелики, т. е. имеют одинаковые площади.

1)  (так как у них одно основание и высота)

2) 

ч. т. д.

Задача 4

Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой меньшее основание 18 см, высота 9 см, меньший угол  (см. Рис. 5).

Дано: – трапеция ()

Найти:

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Задача сводится к нахождению большего основания .

 – потому что  прямоугольник (стороны  и  – параллельны, две другие стороны тоже параллельны как перпендикуляры к параллельным прямым)

, потому что треугольник  – прямоугольный и равнобедренный, так как два его угла равны 45 градусов, значит, .

Аналогично .

Ответ:.

Задача 5

Найти площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равняется , а диагонали взаимоперпендикулярны (см. Рис. 6).

Дано:; ;

 – высота.

Найти:.

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 5

Важную роль здесь играют диагонали.

Проведем  параллельно . Получим треугольник  и параллелограмм  (противоположные стороны  и  параллельны по условию,  параллельно  по построению).

Диагонали трапеции перпендикулярны и равны между собой и , а значит, треугольник  – равнобедренный и прямоугольный.

Далее докажем, что площади треугольников  и  равны.

, так как .

 (мы отняли площадь одного треугольника  и добавили площадь треугольника ).

Треугольник , во-первых, равнобедренный, во-вторых, у него известна высота, опущенная из вершины , значит, его площадь можно найти (см. Рис. 7).

Рис. 7. Треугольник

Высота треугольника  является и биссектрисой, и медианой, значит, отрезок  – гипотенуза, равняется .

Ответ:.

Задача 6

Дана трапеция с основаниями ,  и высотой . Проведена средняя линия . Доказать, что площадь трапеции равна средней линии  умноженной на высоту (см. Рис. 8).

Дано:; ;

 – высота;

 – средняя линия.

Доказать:.

Доказательство

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 6

Через точку  проведем прямую , получим точки , , треугольники  ( по условию, прилегающие углы равны,  как вертикальные, углы  как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых  и  секущей ).

Из равенства треугольников вытекает, что .

Теперь у нас есть два параллелограмма,  и . Эти четырехугольники – параллелограммы по определению, потому что противоположные стороны параллельны.

Если среднюю линию мы обозначили как , то  и .

ч. т. д.

Заключение

На этом уроке мы доказали формулу для нахождения площади трапеции. Площадь равна полусумме оснований, умноженных на высоту. Закрепили эту формулу решением задач.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7-9 классы – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт YouTube (Источник)

2. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник)

3. Интернет-сайт «Уроки математики» (Источник)

 

Домашнее задание

1. В равнобедренной трапеции  () диагональ  является биссектрисой угла . Известно, что угол  равен , , . Найдите площадь трапеции.

2. В равнобедренной трапеции  , , высота , . а) найдите площадь трапеции; б) найдите площадь треугольника , если  – середина отрезка .

3. В трапеции  на меньшем основании  и на боковой стороне  взяты точки  и  соответственно, а на отрезке  отмечена точка . Найдите отношение , если , , , .