Тема: Подобные треугольники
Урок: Отношение площадей подобных треугольников
1. Понятие подобия треугольников
Начнем с того, что введем определение подобных треугольников.
Определение. Два треугольника называются подобными, еслиих углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов, пропорциональны (см. Рис. 1).
. Отношение длин сторон треугольников называют коэффициентом подобия (
).
Рис. 1
Замечание. Пропорциональные стороны подобных треугольников называют еще сходственными сторонами.
Важно понимать, что в подобных треугольниках пропорциональны не только стороны, но и другие соответственные линейные элементы: высоты, медианы, биссектрисы, проведенные к соответственным сторонам, периметры и т.п. Т.е. все эти величины относятся, как коэффициент подобия. Вопрос заключается в том, верно ли аналогичное утверждение и для площадей треугольников. Для того чтобы ответить на этот вопрос, сформулируем теорему.
Теорема 1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.
Доказательство. Изобразим подобные треугольники 
на Рис. 2.
Рис. 2
2. Теорема об отношении площадей подобных треугольников
Из подобия треугольников по определению следует, что 
.Воспользуемся следующей теоремой, которую мы сформулировали в предыдущей теме «Площадь»: если у двух треугольников равны углы (
), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы. Запишем этот факт в виде формулы:
, что и требовалось доказать.
Доказано.
Замечание. Возможно доказательство этой теоремы не единственным указанным способом, а и с использованием различных формул для вычисления площади треугольника, но мы их указывать не будем.
3. Задачи на применение теоремы об отношении площадей подобных треугольников
Рассмотрим ряд примеров, в которых применяется рассмотренная теорема.
Пример 1. Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия 
, то чему равно отношение площадей этих треугольников.
Решение. Задача устная и не требует выполнения чертежа. Воспользуемся изученной теоремой: 
.
Ответ. 2.
Пример 2. Треугольники 
подобны. Площадь 
равна 
, площадь 
равна 
. Сторона 
равна 18 см, найти сходственную ей сторону 
.
Решение. Воспользуемся для удобства готовым Рис. 2. Поскольку отношение площадей треугольников: 
, то по теореме 
.
Тогда из подобия треугольников: 
.
Ответ. 9 см.
Пример 3. Дан треугольник , площадь которого равна 
и в нем проведена средняя линия 
параллельно . Необходимо найти площадь треугольника, который отсекает средняя линия от треугольника .
Решение. Изобразим Рис. 3.
Рис. 3
Из рисунка видно, что в условии требуется найти площадь треугольника 
. Треугольники и подобны, т.к. равны их углы (
общий, 
, 
как соответственные углы при параллельных прямых и секущей) и сходственные стороны пропорциональны с коэффициентом пропорциональности 
(
и 
– середины соответствующих сторон, а 
по теореме о средней линии).
Тогда по теореме об отношении площадей подобных треугольников 
.
Ответ. 
.
На сегодняшнем уроке была рассмотрена теорема об отношении площадей подобных треугольников и приведен ряд примеров на ее применение.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Вычислите коэффициент подобия треугольников, площади которых равны: а)
, б) 
, в) 
. - В треугольнике через точку
, лежащую на стороне 
, проведены прямые, параллельные сторонам 
и . Площадь образованного при этом параллелограмма составляет 
площади треугольника . Найдите отношение 
. - В треугольнике через основание
высоты 
проведена прямая параллельно стороне 
до пересечения со стороной в точке
. Найдите отношение 
, если площадь треугольника 
составляет 
площади треугольника . - На боковых сторонах и
трапеции 
взяты точки и 
так, что отрезок 
параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину , если 
и 
.
