Задача 3

Доказать, что равнобедренные треугольники с равными углами при вершине подобны.

Дано: ; – равнобедренные треугольники; (см. рис. 6).

Доказать: .

Доказательство

Рис. 6. Иллюстрация к доказательству

1) Сумма внутренних углов треугольника равна : . Так как равнобедренный, то .

Следовательно, .

2) Аналогично найдём : . Так как равнобедренный, то .

Следовательно, .

3) Так как , то . Мы получили две пары равных углов, поэтому , согласно первому признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.

Задача 4

В равнобедренном треугольнике с углом из вершины основания проведена биссектриса . Доказать подобие треугольников и .

Дано: – равнобедренный; ; ; ( – биссектриса) (см. рис. 7).

Доказать: .

Доказательство

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству

1) Так как в равнобедренном треугольнике задан угол при вершине, то можно найти углы при основании: .

2) Так как – это биссектриса, то .

3) В найдём : .

4) Таким образом, и – равнобедренные (см. рис. 8) с равными углами при вершине (). Как известно, равнобедренные треугольники с равными углами при вершине подобны: . Что и требовалось доказать.

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Домашнее задание

1. Задачи 552, 553, 555 - Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 7-9 классы (Источник)

2. Найдите пары подобных треугольников и докажите их подобие. Запишите равенство отношений соответствующих сторон (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

3. В треугольнике угол вдвое больше угла , а длины противолежащих этим углам сторон соответственно равны 12 и 8. Найти третью сторону.

Список рекомендованной литературы

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 7-9 классы – М.: Просвещение, 2010.
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Uznateshe.ru (Источник).
Youtube.com (Источник).
Yaklass.ru (Источник).