Введение
Подобными называются такие треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника (см. рис. 1).
Рис. 1. Подобные треугольники
Отношение длин сторон одного треугольника к сходственным сторонам другого называется коэффициентом подобия (
): 
.
На практике для установления подобия треугольников достаточно проверить некоторые равенства (см. рис. 1). Комбинации этих равенств называются признаками подобия треугольников. Таким образом, признаки подобия треугольников – это геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.
На данном уроке мы рассмотрим первый признак подобия треугольников.
Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство первого признака подобия треугольников
Дано:
; 
; 
; 
(см. рис. 2).
Доказать: подобие данных треугольников 
.
Рис. 2. Иллюстрация к доказательству
Доказательство первого признака подобия треугольников
Доказательство
Для доказательства подобия данных треугольников необходимо установить равенство соответствующих углов и равенство отношений соответствующих сторон, то есть: ; ; 
.
1) Из теоремы о сумме углов треугольника известно, что сумма внутренних углов треугольника равна 
. Следовательно, 
.
Так как ; , то 
. Следовательно, .
Равенство углов установлено.
2) Пропорциональность сторон определяется, исходя из свойств площадей треугольников с одинаковым углом: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
а) Угол , следовательно, отношение площадей данных треугольников равно: 
.
, следовательно, отношение площадей данных треугольников также равно: 
.
Левые части полученных выражений равны, поэтому равны и правые части: 
.
и 
– это одна и та же сторона; 
и 
– это одна и та же сторона. Следовательно, 
.
Сокращаем данное выражение на 
: 
.
Первая пропорциональность доказана.
б) Угол , следовательно, отношение площадей данных треугольников равно: .
, следовательно, отношение площадей данных треугольников также равно: 
.
Левые части полученных выражений равны, поэтому равны и правые части: 
.
и 
– это одна и та же сторона; 
и 
– это одна и та же сторона. Следовательно, 
.
Сокращаем данное выражение на 
: 
.
Вторая пропорциональность доказана.
в) Так как 
и 
, то 
.
Мы установили равенство соответствующих углов и равенство отношений соответствующих сторон, следовательно, треугольники 
и подобные.
Что и требовалось доказать.
Задача 1
Дано:; ; ; (см. рис. 3); 
; 
; 
; 
.
Найти:
и .
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Решение
1) Данные треугольники подобные, согласно первому признаку подобия треугольников: .
2) Определим коэффициент подобия данных треугольников: .
Следовательно, 
.
Ответ: 
; 
.
Задача 2
Найти 
(см. рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Дано: и 
– прямоугольные; 
; 
; 
.
Найти: 
.
Решение
Данные треугольники подобные, так как в каждом треугольнике есть прямой угол и (первый признак подобия треугольников): 
.
Так как треугольники подобные, то отношения сходственных сторон у них равны. Для определения сходственных сторон необходимо помнить, что они лежат напротив равных углов.
Подставим в данное выражение известные значения: 
.
Ответ: .
Задачи
У некоторых треугольников (равнобедренных, прямоугольных, равносторонних) уже имеются взаимосвязи между элементами, поэтому требуется меньше данных для формулировки признаков подобия.
Первый признак подобия прямоугольных треугольников: если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны (см. рис. 5).
Рис. 5. Подобие прямоугольных треугольников по острому углу
Задачи
Задача 3
Доказать, что равнобедренные треугольники с равными углами при вершине подобны.
Дано: ; – равнобедренные треугольники; (см. рис. 6).
Доказать: .
Доказательство
Рис. 6. Иллюстрация к доказательству
1) Сумма внутренних углов треугольника равна : 
. Так как равнобедренный, то 
.
Следовательно, 
.
2) Аналогично найдём 
: 
. Так как равнобедренный, то 
.
Следовательно, 
.
3) Так как , то . Мы получили две пары равных углов, поэтому , согласно первому признаку подобия треугольников. Что и требовалось доказать.
Задача 4
В равнобедренном треугольнике с углом 
из вершины 
основания проведена биссектриса 
. Доказать подобие треугольников и 
.
Дано: – равнобедренный; 
; ; 
( – биссектриса) (см. рис. 7).
Доказать: 
.
Доказательство
Рис. 7. Иллюстрация к доказательству
1) Так как в равнобедренном треугольнике задан угол при вершине, то можно найти углы при основании: 
.
2) Так как – это биссектриса, то 
.
3) В найдём 
: 
.
4) Таким образом, и – равнобедренные (см. рис. 8) с равными углами при вершине (
). Как известно, равнобедренные треугольники с равными углами при вершине подобны: . Что и требовалось доказать.
Рис. 8. Иллюстрация к доказательству
Домашнее задание
1. Задачи 552, 553, 555 - Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 7-9 классы (Источник)
2. Найдите пары подобных треугольников и докажите их подобие. Запишите равенство отношений соответствующих сторон (см. рис. 9).
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
3. В треугольнике 
угол 
вдвое больше угла , а длины противолежащих этим углам сторон соответственно равны 12 и 8. Найти третью сторону.
Список рекомендованной литературы
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. Геометрия, 7-9 классы – М.: Просвещение, 2010.
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
