11. Повторение темы «Подобные треугольники». Решение задач

Определение подобных треугольников

На этом уроке мы повторим тему «Подобные треугольники».

Для начала вспомним определение подобных треугольников.

Определение

Треугольникииназываются подобными треугольниками (), если у них все углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны (см. Рис. 1).

;.

При этом коэффициентназывается коэффициентом подобия.

Если обозначить:, можно получить следующие соотношения между сторонами подобных треугольников:.

Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:.

Признаки подобия треугольников

Для того чтобы определить, являются ли треугольники подобными, не прибегая к определению, существуют признаки подобия треугольников.

Всего существует три признака подобия. Перечислим их:

1.      По равенству двух углов: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны:.

2.      По пропорциональности двух сторон и равенству угла между ними: если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны:.

3.      По пропорциональности трёх сторон: если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны:.

С помощью подобия треугольников доказывается свойство средней линии треугольника. Напомним определение средней линии треугольника.

Свойства средней линии и медиан треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине (см. Рис. 2).

.

С подобием связано доказательство ещё одного важного факта – свойства медиан треугольника (которое иногда ещё называют теоремой Архимеда): медианы треугольника пересекаются в одной точке, причём точкой пересечения делятся в отношении, считая от вершины треугольника (см. Рис. 3).

;

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Полезными свойства подобия оказываются и в прямоугольных треугольниках. Мы выяснили, что высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, которые подобны также исходному треугольнику. Из этого следует сразу несколько важных фактов, связывающих пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (см. Рис. 4).

.

1.     (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

2.     (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

3.     (высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу).

Решение примера

Рассмотрим задачу, в которой используются полученные в теме «Подобные треугольники» знания.

Задача

Дан прямоугольный треугольник. В нём проведена высота.. Найти высоту треугольника, катеты, а также синус углаи тангенс угла.

Дано:,– высота,.

Найти:– ?

Решение

Воспользуемся соотношениями между пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике:.

.

.

Найдём синус угла, воспользовавшись определением синуса острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе:

.

Найдём тангенс угла, воспользовавшись определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему:

.

Ответ:.

На этом уроке мы повторили тему «Подобные треугольники». На следующем уроке мы начнём изучение новой темы: «Окружность».

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

2. Интернет-портал «6yket.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. № 144(б-г), 145(б-з), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

2. В прямоугольном треугольнике:,. Найти расстояние от середины катетадо гипотенузы.

3. Докажите, что отношение соответствующих медиан подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 

4. Высота дерева равна, а длина тени человека, рост которого, равна. Найдите длину тени дерева.

5. Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону в отношении. В каком отношении эта высота делит диагональ параллелограмма?