Центральный и вписанный углы
Вспомним определение и свойства центрального и вписанного углов (см. рис. 1): центральный угол – это угол, вершина которого совпадает с центром окружности; вписанный угол – это угол, вершина которого принадлежит окружности.
Рис. 1. Центральный угол 
и вписанный угол 
При этомвписанный угол равен половине градусной меры дуги окружности, на которую он опирается, а центральный угол равен этой дуге:
Одним из следствий является то, что два вписанных угла, опирающихся на одну дугу (или одну хорду), равны друг другу (см. рис. 2).
Рис. 2. Вписанные углы 
, опирающиеся на одну дугу
Угол, вершина которого лежит внутри окружности
А как обстоит дело с остальными углами, опирающимися на дугу, но вершина которых не лежит ни на окружности, ни в ее центре?
Понятно, что в этом случае вершина лежит либо внутри окружности (см. рис. 3), либо снаружи (см. рис. 4).
Рис. 3. Вершина угла лежит внутри окружности
Рис. 4. Вершина угла лежит вне окружности
Рассмотрим случай, когда вершина лежит внутри окружности. Угол 
опирается на дугу 
(см. рис. 5).
Рис. 5. Угол опирается на дугу
Интуитивно понятно, что угол больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу. Продлим стороны угла 
и 
до пересечения с окружностью (см. рис. 6) и попробуем выразить сам угол через величины дуг, на которые разбита окружность.
Рис. 6. Стороны угла и продлили до пересечения с окружностью
Наш угол является внешним для треугольника 
. А раз так, то он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (см. рис. 7):
Рис. 7. Угол , являющийся внешним для треугольника , равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним
Но углы 
и 
уже являются вписанными, а значит, каждый из них равен половине дуги, на которую опирается:
Уберем лишнее с рисунка (см. рис. 8).
Рис. 8. Угол равен полусумме дуг 
и
Итак: если через точку внутри окружности проведены две секущие, то угол между ними равен полусумме дуг, на которые опираются сам угол и ему вертикальный.
Легко проверить, что это выполняется и для центрального, и для вписанного углов (как для предельных случаев). Т. е. мы обобщили теорему о центральном и вписанном угле (как раньше обобщили теорему Пифагора теоремой косинусов).
Второй случай, когда вершина угла лежит вне окружности, а стороны угла пересекают эту окружность. Попробуйте самостоятельно изобразить этот случай и выразить величину угла через дуги, на которые окружность поделилась сторонами угла. А решение можно посмотреть ниже.
Угол, вершина которого лежит вне окружности
Итак, постановка задачи: через точку, лежащую вне окружности, проходят две секущие (см. рис. 9). Выразить величину угла через полученные дуги окружности.
Рис. 9. Через точку, лежащую вне окружности, проходят две секущие
Посмотрим на две дуги, которые лежат внутри угла 
: дуги 
и 
. Мы знаем, как выразить через дуги вписанные углы, которые на них опираются. Поэтому попробуем выразить угол через вписанные углы. Для этого соединим точки 
и 
. Получим два вписанных угла и (см. рис. 10).
Рис. 10. Соединили точки и , получили два вписанных угла и
Угол опирается на дугу , угол опирается на дугу . Эти углы равны половине соответствующих дуг. И при этом исследуемый угол выражается через эти два угла.
В самом деле, угол является внешним для треугольника 
, значит:
Тогда:
Вспомним теперь, что эти углы равны половинам своих дуг:
Таким образом, угол равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.
Свойство вписанного четырехугольника
При изучении новых объектов мы обычно формулируем два типа утверждений: свойства (то, что мы всегда можем сказать об этом объекте) и признаки (благодаря чему мы можем узнать именно этот объект).
Например: у каждой лошади есть голова. Это свойство лошадей или их необходимый признак. Но назвать признаком наличие головы нельзя: она есть у людей, у собак и т. д.
Умение читать книги – достаточный признак человека (если кто-то умеет читать, то это точно человек). Если признак работает в обе стороны, то он так и называется – необходимым и достаточным. Молния – необходимый и достаточный признак грозы (если гроза, то обязательно есть молния, но если видим молнию, значит, точно гроза).
Итак, ранее мы убедились, что, в отличие от треугольников, далеко не все четырехугольники можно вписать в окружность (и, соответственно, любой четырехугольник можно вписать в окружность). Например, квадрат можно вписать в окружность, а ромб, не являющийся квадратом, нельзя.
Оказалось, что можно сформулировать признаки вписанного и описанного четырехугольников (т. е. то свойство, которым обладают только такие четырехугольники и не обладают остальные).
Свойство вписанного четырехугольника: если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противоположных углов в нем равны 
(см. рис. 11).
Рис. 11. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противоположных углов в нем равны
Признак вписанного четырехугольника
Доказать это свойство оказалось несложно (Окружность и многоугольники). Но оно не поможет нам, если мы не докажем, что у любого другого не вписанного четырехугольника суммы противоположных углов не равны . Вспомните пример с лошадью: отсутствие головы точно говорит нам, что данный объект не лошадь, но вот ее наличие еще ничего не говорит.
Итак, в свое время мы доказали свойство, а обратное утверждение приняли на веру. Сейчас у нас есть все инструменты, чтобы вернуться и доказать признак вписанного четырехугольника.
Теорема
Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна , то он вписанный (вокруг него можно описать окружность).
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник 
, у которого углы 
и 
в сумме равны (см. рис. 12).
Рис. 12. Четырехугольник , где сумма углов и равна
Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Опишем ее вокруг треугольника 
(см. рис. 13) и докажем, что она пройдет обязательно и через точку 
.
Рис. 13. Вокруг треугольника описана окружность
Будем доказывать методом от противного. Предположим, что окружность не проходит через точку . Тогда точка может оказаться внутри или вне окружности.
Рассмотрим случай, когда она находится внутри (см. рис. 13).
Рис. 13. Точка находится внутри окружности
Продлим стороны до пересечения с окружностью:
Но тогда он больше, чем просто половина дуги 
:
При этом угол вписанный и равен половине дуги, на которую опирается:
Если к обеим частям неравенства прибавить равные выражения, то получим эквивалентное неравенство:
Таким образом:
Но это противоречит условию. Таким образом, точка не может лежать внутри окружности.
Самостоятельно рассмотрите случай, когда точка лежит вне окружности, и докажите, что это невозможно. Там рассуждения совершенно аналогичны (изменится только знак неравенства).
Доказано.
Итак, равенство суммы противоположных углов является теперь необходимым и достаточным признаком вписанного четырехугольника.
Нахождение значений тригонометрических функций
Мы с вами успели убедиться, что тригонометрические функции очень удобный инструмент для решения геометрических задач. Во многом это связано с тем, что значение тригонометрической функции зависит только от величины угла и не зависит от типа треугольника.
В произвольном треугольнике есть три угла и для каждого угла можно посчитать значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса (или указать, что тангенс не определен – для прямого угла).
Мы нашли значения тригонометрических функций для некоторых углов. Обычно их сводят в такую таблицу (см. рис. 15).
Рис. 15. Таблица значений основных тригонометрических функций
Запоминать ее не обязательно (хотя при решении большого количества задач вы это сделаете непроизвольно), лучше помнить, как можно их получить (Тригонометрические функции произвольных углов. Теоремы синусов и косинусов).
Значения разных тригонометрических функций для одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами:
Зная значение одной тригонометрической функции угла, можно найти все остальные.
Задача 1. Найти неизвестные тригонометрические функции угла, если:
Решение
Можно, конечно, найти угол, зная, что угол лежит в интервале от 
до 
, а его косинус равен 
(см. рис. 16).
Рис. 16. Иллюстрация к задаче 1
Зная определение тригонометрической функции (косинус – абсцисса соответствующей точки на окружности) (см. рис. 17), несложно получить, что:
Т. е. 
.
Рис. 17. Иллюстрация к задаче 1
Но мы рассмотрим общий способ, ведь нам не обязательно «повезет» с табличным значением тригонометрической функции.
Чтобы найти синус, зная, косинус, воспользуемся тождеством, которое их связывает, а именно:
Выразим из него синус:
Мы получили два возможных значения синуса. Как быть? Если бы у нас не было больше никакой информации об угле, то на этом нам бы пришлось остановиться. Действительно, при данном значении косинуса у синуса может быть два значения (вертикальная прямая пересекает окружность в двух точках с противоположными ординатами) (см. рис. 18).
Рис. 18. Иллюстрация к задаче 1
Но у нас есть дополнительная информация: угол лежит в четвертой четверти (см. рис. 19).
Рис. 19. Иллюстрация к задаче 1
В этой четверти у всех точек окружности ордината отрицательная, значит, синус будет иметь знак «минус»:
Осталось найти тангенс и котангенс, зная синус и косинус:
Ответ: 
.
Обратите внимание: если бы в условии речь шла об угле треугольника, то мы бы сами ограничили величину угла: 
, и сказали бы, что т. к. его косинус положительный, то угол лежит в первой четверти (тогда и все остальные тригонометрические функции данного угла были бы положительными).
Задача 2. Найти неизвестные тригонометрические функции угла, если:
Решение
Мы знаем, что, по определению, синус угла – это ордината соответствующей точки окружности. Видим, что окружность пересекается горизонтальной прямой 
в двух точках (см. рис. 20).
Рис. 20. Иллюстрация к задаче 2
Значит, условию 
соответствуют два угла: 
в первой четверти и 
во второй (больше никакой информации об угле, в отличие от предыдущей задачи, нет).
Соответственно, у нас будут два разных значения косинуса. По рисунку видно, что по модулю эти значения равны и отличаются только знаком (см. рис. 21).
Рис. 21. Иллюстрация к задаче 2
Снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
Тогда:
В такой постановке мы бы должны были получить и два возможных значения тангенса и котангенса (с точностью до знака). Давайте добавим информацию о величине угла, чтобы получить однозначный ответ: пусть 
(или, по-другому, угол находится во второй четверти).
Косинус, который ему соответствует, имеет знак «минус» (т. к. абсциссы точек окружности во второй четверти отрицательные):
Осталось найти тангенс и котангенс:
Ответ: 
.
Теоремы синусов и косинусов
Кроме непосредственно тригонометрических функций, у нас есть еще два очень мощных инструмента, которые помогают нам находить недостающие элементы треугольников: теорема синусов и теорема косинусов. Вспомним обе теоремы.
Теорема синусов: отношение сторон к синусам противолежащих углов постоянно для данного треугольника и равно диаметру описанной окружности:
Возьмем первую часть этого утверждения:
Зная три элемента в этой пропорции, мы можем найти четвертый.
Например, если мы знаем две стороны и один противолежащий угол, то можем найти второй угол:
Или знаем одну сторону и два угла, найдем вторую сторону:
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
С помощью этой теоремы мы находим третью сторону, если знаем две стороны и угол между ними. Или, зная три стороны, можно найти каждый угол, точнее – его косинус.
Задача 3. Выяснить тип треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный), если его стороны равны:
Решение
Тип треугольника определяется его наибольшим углом, а наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны (см. рис. 22). Зная три стороны, мы можем найти угол, используя теорему косинусов.
Рис. 22. Иллюстрация к задаче 3
1. Стороны треугольника равны , значит, наибольший угол лежит напротив стороны 
. По теореме косинусов имеем:
Выразим косинус:
Косинус положительный, соответствующий ему угол треугольника может быть только острым (у тупых углов косинус отрицательный – соответствующие им точки окружности расположены во второй четверти) (см. рис. 23). Т. е. наибольший угол треугольника острый, остальные тем более острые. Треугольник остроугольный.
Рис. 23. Иллюстрация к задаче 3
Остальные два случая решаются аналогично. Выполните их самостоятельно. У вас должно получиться, что во втором случае косинус наибольшего треугольника равен 
(треугольник прямоугольный), а в третьем – косинус угла отрицательный (треугольник тупоугольный).
Ответ: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.
Свойство биссектрисы угла треугольника
Биссектриса делит угол пополам – это ее определение. Но, оказывается, противоположную сторону треугольника она тоже делит всегда не пополам, но в определенном соотношении.
Биссектриса 
треугольника 
делит противоположную сторону на два отрезка. Обозначим их как 
и 
(см. рис. 24). Углы 
, и, конечно, 
.
Рис. 24. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки и
Кроме того, углы 
и 
смежные (см. рис. 25):
Рис. 25. Смежные углы и
Но у таких углов синусы тоже равны (в самом деле, на единичной окружности двум таким углам соответствует одно и то же значение синуса) (см. рис. 26).
Рис. 26. На единичной окружности углам и соответствует одно и то же значение синуса
Тогда имеем:
Применим к двум треугольникам теоремы синусов. Для треугольника 
имеем:
Для треугольника 
имеем:
Но правые части в обеих пропорциях равны, следовательно, равны и левые:
Или:
Таким образом, мы доказали, что биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Этот факт сам по себе полезный инструмент, который мы будем использовать для решения различных задач.
Решение практической задачи с использованием теоремы синусов
Задача 4. На горе находится башня, высота которой равна 
м. Некоторый предмет у подножия горы наблюдают сначала с вершины 
башни под углом 
к горизонту, а потом с ее основания под углом 
. Найдите высоту 
горы (см. рис. 27).
Рис. 27. Иллюстрация к задаче 4
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник (см. рис. 28):
Рис. 28. Иллюстрация к задаче 4
Тогда:
Теперь рассмотрим треугольник . В нем мы знаем:
Тогда:
Используем теорему синусов:
м
Ответ: 
м.
Чтобы потренироваться использовать рассмотренные инструменты для решения других задач, используйте наши тренажеры и тесты. Чем больше вы практикуетесь, тем легче вам будет «увидеть», какой инструмент лучше всего применить для решения той или иной задачи и как именно это сделать.
Список литературы
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал tmath.ru (Источник)
- Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)
- Интернет-портал схемо.рф (Источник)
Домашнее задание
- Доказать, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм – квадрат.
- Найти угол между лучом
и положительной полуосью 
, если точка имеет координаты 
. - В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно
см, а угол при основании равен 
. Найти периметр трапеции.
