Мы с вами успели убедиться, что тригонометрические функции очень удобный инструмент для решения геометрических задач. Во многом это связано с тем, что значение тригонометрической функции зависит только от величины угла и не зависит от типа треугольника.

В произвольном треугольнике есть три угла и для каждого угла можно посчитать значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса (или указать, что тангенс не определен – для прямого угла).

Мы нашли значения тригонометрических функций для некоторых углов. Обычно их сводят в такую таблицу (см. рис. 15).

Рис. 15. Таблица значений основных тригонометрических функций

Запоминать ее не обязательно (хотя при решении большого количества задач вы это сделаете непроизвольно), лучше помнить, как можно их получить (Тригонометрические функции произвольных углов. Теоремы синусов и косинусов).

Значения разных тригонометрических функций для одного угла связаны между собой основными тригонометрическими тождествами:

Зная значение одной тригонометрической функции угла, можно найти все остальные.

Задача 1. Найти неизвестные тригонометрические функции угла, если:

Решение

Можно, конечно, найти угол, зная, что угол лежит в интервале от до , а его косинус равен (см. рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 1

Зная определение тригонометрической функции (косинус – абсцисса соответствующей точки на окружности) (см. рис. 17), несложно получить, что:

Т. е. .

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 1

Но мы рассмотрим общий способ, ведь нам не обязательно «повезет» с табличным значением тригонометрической функции.

Чтобы найти синус, зная, косинус, воспользуемся тождеством, которое их связывает, а именно:

Выразим из него синус:

Мы получили два возможных значения синуса. Как быть? Если бы у нас не было больше никакой информации об угле, то на этом нам бы пришлось остановиться. Действительно, при данном значении косинуса у синуса может быть два значения (вертикальная прямая пересекает окружность в двух точках с противоположными ординатами) (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 1

Но у нас есть дополнительная информация: угол лежит в четвертой четверти (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 1

В этой четверти у всех точек окружности ордината отрицательная, значит, синус будет иметь знак «минус»:

Осталось найти тангенс и котангенс, зная синус и косинус:

Ответ: .

Обратите внимание: если бы в условии речь шла об угле треугольника, то мы бы сами ограничили величину угла: , и сказали бы, что т. к. его косинус положительный, то угол лежит в первой четверти (тогда и все остальные тригонометрические функции данного угла были бы положительными).

Задача 2. Найти неизвестные тригонометрические функции угла, если:

Решение

Мы знаем, что, по определению, синус угла – это ордината соответствующей точки окружности. Видим, что окружность пересекается горизонтальной прямой в двух точках (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 2

Значит, условию соответствуют два угла: в первой четверти и во второй (больше никакой информации об угле, в отличие от предыдущей задачи, нет).

Соответственно, у нас будут два разных значения косинуса. По рисунку видно, что по модулю эти значения равны и отличаются только знаком (см. рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 2

Снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

Тогда:

В такой постановке мы бы должны были получить и два возможных значения тангенса и котангенса (с точностью до знака). Давайте добавим информацию о величине угла, чтобы получить однозначный ответ: пусть (или, по-другому, угол находится во второй четверти).

Косинус, который ему соответствует, имеет знак «минус» (т. к. абсциссы точек окружности во второй четверти отрицательные):

Осталось найти тангенс и котангенс:

Ответ: .