Повторение основных понятий, связанных с прямоугольным треугольником
На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом – тригонометрическими функциями, связывающими острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника. Это очень важные понятия, которые будут встречаться не только в геометрии, но и в алгебре, физике и во многих других науках.
Напомним основные сведения о прямоугольном треугольнике (см. Рис. 1).
Рис. 1
;
– катеты; AB=c – гипотенуза.
Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 
: 
.
Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: 
.
Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника
Определение
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
, 
.
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
, 
.
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
, 
.
Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла
С помощью введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.
Например, из формулы: 
. Аналогично: 
.
Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: 
.
Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника
При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим следующие две формулы: 
. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Аналогично получаем: 
. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:
Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом
Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:
Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника
Доказательство
Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: 
. Доказано.
Аналогично: 
.
Рассмотрим следующую важную задачу.
Задача
Даны прямоугольные треугольники 
. Кроме того, 
.
Доказать:
.
Доказательство
(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: 
.
Отсюда получаем: 
.
.
.
Доказано.
Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.
Основное тригонометрическое тождество
Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество: 
.
Примечание: 
Доказательство
, тогда: 
(при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).
Доказано.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.
Решение примера
Дано: 
– прямоугольный (
), 
.
Найти: 
Решение
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: 
. Отсюда: 
. Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: 
.
Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: 
.
Ответ: 
.
На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
- Xvatit.com (Источник).
- Egesdam.ru (Источник).
Домашнее задание
- № 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
- Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен
.
