Средняя линия треугольника

Повторение второго признака подобия и свойства параллельности прямых

Повторим второй признак подобия треугольников.

Теорема 1. Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны (см. Рис. 1).

.

Рис. 1

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы попарно равны, а стороны, лежащие напротив соответственных углов, пропорциональны.

.

Теорема 2. Свойство и признак параллельности прямых. Если прямые параллельны, то их соответственные углы равны; если соответственные углы равны, то прямые параллельны (см. Рис. 2).

.

Рис. 2

Определение и теорема о средней линии треугольника

Определение. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины сторон треугольника. На Рис. 3  средняя линия треугольника ,  основание.

Теорема 3. Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине (Рис. 3).

.

Доказательство.

По условию известно, что .

Рис. 3

Рассмотрим  и :

 по второму признаку подобия треугольников. Следовательно,  как соответственные, а по признаку параллельности прямых: . Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Кроме того, из подобия треугольников  можно выписать и отношение их третьих сторон . То, что средняя линия равна половине соответствующего основания, доказано.

Доказано.

Пример на использование теоремы о средней линии треугольника

Пример 1. В треугольнике  середины сторон  . Найти периметр  (см. Рис. 4).

Решение.

Рис. 4

Начнем с того, что проверим существование указанного в условии треугольника , для этого запишем неравенство треугольника для его наибольшей стороны: , неравенство выполнено, следовательно, такой треугольник существует.

Соединим середины сторон треугольника  и получим его средние линии, найдем их длины по теореме о средней линии:

.

Ответ. 10.

Теорема о пересечении медиан треугольника

Теорема 4. Теорема о пересечении медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которой делят друг друга в отношении  считая от вершины (см. Рис. 5).

.

Доказательство. Обозначим на рисунке точки  – середины сторон треугольника   соответственно.

Рассмотрим две медианы  и , они пересекаются в некоторой точке  (см. Рис. 6).

Рис. 5, рис. 6

Следует доказать, что они пересекаются, т.к. возможно, что медианы могут быть параллельны. В таком случае для них отрезок  был бы секущей, а , но эти углы составляют некоторую часть от углов треугольника , а сумма его углов равна , значит, такое невозможно, и медианы  и  пересекаются.

Проведем отрезок , он соединяет середины сторон треугольника, а следовательно, по определению является средней линией, а по теореме о средней линии . Эти два параллельных отрезка пересекаются секущими  и , а из этого следует, что  и  как накрест лежащие. Из этого можно сделать вывод о том, что  по первому признаку подобия треугольников. Коэффициент подобия этих треугольников по теореме о средней линии , а по определению подобных треугольников .

Доказано, что две медианы треугольника пересекают друг друга в отношении  2:1, считая от вершины, аналогично будем рассуждать и о третьей медиане. Поскольку в качестве пары медиан можно выбрать, например, медианы  и , то и они точкой пересечения будут рассекать друг друга в отношении 2:1, считая от вершины. Однако не факт, что точки пересечения одной пары медиан и второй пары медиан совпадут. Предположим, что это не так, и . Тогда  Рассмотрим дополнительный Рис. 7, на котором изобразим отдельно медиану .

Рис. 7

Поскольку известно, что отрезок  и точкой , и точкой  делится в отношении 2:1, считая от вершины , то эти точки совпадают, т.к. у любого отрезка, очевидно, такая точка только одна, т.е.  и все медианы треугольника пересекаются в одной точке .

Таким образом, имеем, что , а из отношения отрезков первой пары рассмотренных медиан , из этого следует, что .

Доказано.

На следующем уроке мы рассмотрим пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Terver.ru (Источник).
2. Slideboom (Источник).

 

Домашнее задание

1. Стр. 72: № 61 (а-ж), 62 (а-ж). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. Углы  и  – внешние углы треугольника . Из вершины  проведены перпендикуляры  и  к биссектрисам углов  и  соответственно. Найдите отрезок , если периметр треугольника  равен 18 см.
3. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.
4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведенную к основанию, в отношении . Найдите основание треугольника.