Теорема 4. Теорема о пересечении медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которой делят друг друга в отношении считая от вершины (см. Рис. 5).

.

Доказательство. Обозначим на рисунке точки – середины сторон треугольника соответственно.

Рассмотрим две медианы и , они пересекаются в некоторой точке (см. Рис. 6).

Рис. 5, рис. 6

Следует доказать, что они пересекаются, т.к. возможно, что медианы могут быть параллельны. В таком случае для них отрезок был бы секущей, а , но эти углы составляют некоторую часть от углов треугольника , а сумма его углов равна , значит, такое невозможно, и медианы и пересекаются.

Проведем отрезок , он соединяет середины сторон треугольника, а следовательно, по определению является средней линией, а по теореме о средней линии . Эти два параллельных отрезка пересекаются секущими и , а из этого следует, что и как накрест лежащие. Из этого можно сделать вывод о том, что по первому признаку подобия треугольников. Коэффициент подобия этих треугольников по теореме о средней линии , а по определению подобных треугольников .

Доказано, что две медианы треугольника пересекают друг друга в отношении 2:1, считая от вершины, аналогично будем рассуждать и о третьей медиане. Поскольку в качестве пары медиан можно выбрать, например, медианы и , то и они точкой пересечения будут рассекать друг друга в отношении 2:1, считая от вершины. Однако не факт, что точки пересечения одной пары медиан и второй пары медиан совпадут. Предположим, что это не так, и . Тогда Рассмотрим дополнительный Рис. 7, на котором изобразим отдельно медиану .

Рис. 7

Поскольку известно, что отрезок и точкой , и точкой делится в отношении 2:1, считая от вершины , то эти точки совпадают, т.к. у любого отрезка, очевидно, такая точка только одна, т.е. и все медианы треугольника пересекаются в одной точке .

Таким образом, имеем, что , а из отношения отрезков первой пары рассмотренных медиан , из этого следует, что .

Доказано.

На следующем уроке мы рассмотрим пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Terver.ru (Источник).
Slideboom (Источник).

Домашнее задание

Стр. 72: № 61 (а-ж), 62 (а-ж). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Углы и – внешние углы треугольника . Из вершины проведены перпендикуляры и к биссектрисам углов и соответственно. Найдите отрезок , если периметр треугольника равен 18 см.
Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведенную к основанию, в отношении . Найдите основание треугольника.