Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано:

Доказать:

Доказательство

Чтобы доказать третий признак, мы можем использовать второй признак, так как там есть пропорциональность сторон и нам останется доказать равенство угла, например, что . То есть мы докажем, что эти углы равны, сошлемся на второй признак, и третий признак будет доказан.

Вспомогательное построение: (см. Рис. 2).

Построим треугольник : – по первому признаку подобия.

Рис. 2. Доказательство третьего признака

Раз эти треугольники подобны, то можно выписать пропорциональность их сторон, сравнить с данной пропорциональностью и получить важные выводы.

Сравним с пропорциональностью сторон исходных треугольников.

Значит, и .

Из сравнения двух равенств следует, что треугольник равен треугольнику по трем сторонам.

Из равенства треугольников вытекает:

Итак, в двух исходных треугольниках имеем равные углы и и прилежащие стороны пропорциональны, значит, эти треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников.

Что и требовалось доказать.

Специфика третьего признака подобия треугольников заключается в том, что в нем не фигурируют углы. Есть пропорциональность сходственных сторон. А как найти равные углы?

Перейдем к задачам.