Четыре замечательные точки треугольника

Тема: Повторение курса геометрии 8 класса

Урок: Четыре замечательные точки треугольника

1. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Треугольник – это, прежде всего, три отрезка и три угла, поэтому свойства отрезков и углов являются основополагающими.

Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр – обозначим его за р. Таким образом, р – серединный перпендикуляр.

Теорема (основное свойство серединного перпендикуляра)

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  и  (см. Рис. 1). Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть , что и требовалось доказать.

Рис. 1

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка (см. Рис. 2).

Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.

Рис. 2

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как  по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О – середина основания АВ, ОМ – медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Если необходимо описать окружность около одного отрезка, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центр каждой из них будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

Говорят, что серединный перпендикуляр есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.

Треугольник состоит из трех отрезков. Проведем к двум из них серединные перпендикуляры и получим точку О их пересечения (см. Рис. 3).

Точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС треугольника, значит, она равноудалена от его вершин В и С, обозначим это расстояние за R: .

Кроме того, точка О находится на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, т.е. , вместе с тем , отсюда .

Таким образом, точка О пересечения двух серединных

Рис. 3

перпендикуляров треугольника равноудалена от его вершин, а значит, она лежит и на третьем серединном перпендикуляре.

Мы повторили доказательство важной теоремы.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности.

Итак, мы рассмотрели первую замечательную точку треугольника – точку пересечения его серединных перпендикуляров.

Перейдем к свойству произвольного угла (см. Рис. 4).

Задан угол , его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.

Рис. 4

3. Свойства биссектрисы угла

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы  и  равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе (см. Рис. 5).

Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое.

Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.

Рис. 5

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Если необходимо вписать в угол окружность, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но их центры лежат на биссектрисе данного угла.

Говорят, что биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Треугольник состоит из трех углов. Построим биссектрисы двух из них, получим точку О их пересечения (см. Рис. 6).

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АВ и ВС, обозначим расстояние за r: . Также точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АС и ВС: , , отсюда .

Несложно заметить, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон третьего угла, а значит, она лежит на

Рис. 6

биссектрисе угла . Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Итак, мы вспомнили доказательство еще одной важной теоремы.

4. Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Итак, мы рассмотрели вторую замечательную точку треугольника – точку пересечения биссектрис.

Мы рассмотрели биссектрису угла и отметили ее важные свойства: точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, кроме того, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Введем некоторые обозначения (см. Рис. 7).

Обозначим равные отрезки касательных через х, у и z. Сторона ВС, лежащая против вершины А, обозначается как а, аналогично АС как b, АВ как с.

Рис. 7

5. Решение задачи

Задача 1: в треугольнике известны полупериметр и длина стороны а. Найти длину касательной, проведенной из вершины А – АК, обозначенную за х.

Очевидно, что треугольник задан не полностью, и таких треугольников много, но, оказывается, некоторые элементы у них общие.

Для задач, в которых речь идет о вписанной окружности, можно предложить следующую методику решения:

1.      Провести биссектрисы и получить центр вписанной окружности.

2.      Из центра О провести перпендикуляры к сторонам и получить точки касания.

3.      Отметить равные касательные.

4.      Выписать связь между сторонами треугольника и касательными.

5.      Решить систему в соответствии с требованиями задачи.

6. Четыре замечательные точки треугольника

Согласно условию, нам необходимо найти только касательную х, для этого сложим все три уравнения системы:

В левой части уравнения мы получили периметр треугольника :

Сократим на два:

Получили важный факт: полупериметр есть сумма трех различных касательных.

, отсюда ,

Можно самостоятельно выразить аналогично отрезки касательных у через сторону b и z через сторону с:

Выразим одну из касательных только через стороны треугольника:

В прямоугольном треугольнике одна из касательных является радиусом:

Для доказательства данного факта рекомендуется пользоваться описанным выше алгоритмом.

Третья замечательная точка треугольника – точка пересечения высот (или их продолжений) – ортоцентр.

Последняя замечательная точка – точка пересечения медиан.

Напомним, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Итак, мы рассмотрели четыре замечательных точки треугольника, подробно вспомнили центр описанной и вписанной окружностей, доказали теоремы, кроме того, упомянули ортоцентр и точку пересечения медиан.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Bymath.net (Источник).
2. School-collection.edu.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1: докажите, что в остроугольном треугольнике точка пересечения высот является центром окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются основания высот данного треугольника.
2. Задание 2: докажите, что точка пересечения медиан треугольника, с вершинами в серединах сторон данного, совпадает с точкой пересечения медиан данного треугольника.
3. Задание 3: в треугольнике  угол  равен , Н – точка пересечения высот. Чему может быть равен угол ?