Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе (см. Рис. 5).

Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое.

Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.

Рис. 5

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Если необходимо вписать в угол окружность, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но их центры лежат на биссектрисе данного угла.

Говорят, что биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Треугольник состоит из трех углов. Построим биссектрисы двух из них, получим точку О их пересечения (см. Рис. 6).

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АВ и ВС, обозначим расстояние за r: . Также точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АС и ВС: , , отсюда .

Несложно заметить, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон третьего угла, а значит, она лежит на

Рис. 6

биссектрисе угла . Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Итак, мы вспомнили доказательство еще одной важной теоремы.