Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, отсекаемой хордой, то есть любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу (см. Рис. 9).

Дано: ТА – касательная к окружности, АВ – хорда, угол – угол между касательной и хордой, угол – вписанный угол, опирающийся на дугу .

Доказать:

Рис. 9

Итак, нам нужно доказать, что если , то дуга , то есть соответствующий ей центральный угол .

По условию А – касательная к окружности, отсюда по определению точка А – единственная общая точка прямой и окружности, и радиус, проведенный в эту точку, будет перпендикулярен касательной, то есть ОА⟘ТА, .

Поскольку , то .

Треугольник равнобедренный, т.к. две его стороны равны радиусу окружности, АВ – основание треугольника, углы при основании равны, отсюда

Сумма углов треугольника составляет , запишем сумму для треугольника :

, что и требовалось доказать.

Итак, все вписанные углы, опирающиеся на отсеченную дугу АВ, равны углу между касательной и хордой.

Итак, мы дали определение окружности, вспомнили варианты взаимного расположения окружности и прямой. Мы рассмотрели простейшую геометрическую конструкцию – окружность и точку на окружности. В связи с этой конструкцией мы рассмотрели несколько теорем и их следствий.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Univer.omsk.su (Источник).
Terver.ru (Источник).
Edu.glavsprav.ru (Источник).

Домашнее задание

Задание 1: расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.
Задание 2: хорды АВ и СК окружности с центром О равны. Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и К.
Задание 3: на полуокружности АВ взяты точки С и К так, что . Найдите хорду СК, если радиус окружности – 15 см.