Тема: Повторение курса геометрии 8 класса
Урок: Окружность
1. Определение окружности
Дадим определение окружности, допустив типовую ошибку.
Определение
Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от одной заданной – от центра.
Например, под это определение подходит следующее множество точек: четыре вершины квадрата, равноудаленные от центра квадрата, но данные четыре точки А, В, С и D не являются окружностью (см. Рис. 1).
Рис. 1
Таким образом, в определении пропущено ключевое слово: множество всех точек.
Определение
Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной заданной – от центра.
Если известно, что точка В лежит на окружности, то расстояние от центра окружности до точки В равно радиусу окружности: 
(см. Рис. 2).
И наоборот, если не известно, лежит ли точка М на окружности, но известно, что расстояние от нее до центра окружности равно радиусу (
), то можно утверждать, что точка М принадлежит окружности.
Рис. 2
2. Взаимное расположение прямой и окружности
Соотношение окружности и прямой. Возможны три варианта взаимного расположения окружности и прямой: они могут не пересекаться вообще, пересекаться в одной точке или в двух точках. Особое место занимает случай, когда окружность и прямая имеют единственную общую точку (см. Рис. 3).
Каким образом можно доказать, что общая точка единственная? Около точки А расположено множество точек, и возможно, найдется еще одна, общая для окружности и прямой. Но если радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен прямой, то точка касания – единственная общая точка окружности и прямой. В таком случае прямая называется касательной к окружности.
Рис. 3
Возьмем точку на окружности и изучим конструкции, которые определяются только окружностью и точкой на окружности (см. Рис. 4).
Если провести из точки А два луча, пересекающих окружность, мы получим вписанный треугольник.
Рис. 4
Свойства треугольника и окружности в данном случае взаимосвязаны. Для окружности здесь важна теорема о вписанном угле.
Определение
Угол 
, вершина которого А находится на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным в окружность углом (см. Рис. 5).
Вписанный угол опирается на дугу, в нашем случае на дугу 
. Вписанному углу 
соответствует центральный угол 
, 
.
Рис. 5
3. Теорема о вписанном угле и ее следствие, теорема синусов
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 6).
Напомним, что угловое измерение дуги равно угловому измерению соответствующего ей центрального угла.
Если обозначим угол 
за , то 
и 
Рис. 6
Следствие 1
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 7).
Угол равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна 
. Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы 
и 
, данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .
Таким образом, получаем:
Рис. 7
Комментарий: вспомним теорему синусов для треугольника. Рассмотрим треугольник 
, обозначим в нем 
, 
, 
; 
. Согласно теореме синусов, получаем:
Отсюда несложно найти радиус окружности, если для вписанного в нее треугольника известны сторона и синус противолежащего ей угла:
Возникает некоторая неопределенность. Очевидно, что по таким двум элементам, как сторона и синус противолежащего ей угла, треугольник не определен. Таких треугольников бесчисленное множество, несколько показаны на Рис. 7. Тем не менее, все это семейство треугольников имеет одну и ту же описанную окружность, радиус которой, естественно, один и тот же.
Следствие 2
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 8).
Рис. 8
Запишем теорему синусов в том виде, в котором она часто используется.
Теорема синусов
Сторона треугольника равна удвоенному произведению синуса противолежащего ей угла на радиус описанной около треугольника окружности: 
; 
.
Вернемся к рассмотрению простейшей геометрической конструкции – окружности и точки на окружности. Проведем через данную точку касательную и хорду и рассмотрим угол между ними.
4. Теорема об угле между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, отсекаемой хордой, то есть любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу (см. Рис. 9).
Дано: ТА – касательная к окружности, АВ – хорда, угол 
– угол между касательной и хордой, угол 
– вписанный угол, опирающийся на дугу 
.
Доказать: 
Рис. 9
Итак, нам нужно доказать, что если , то дуга 
, то есть соответствующий ей центральный угол 
.
По условию А – касательная к окружности, отсюда по определению точка А – единственная общая точка прямой и окружности, и радиус, проведенный в эту точку, будет перпендикулярен касательной, то есть ОА⟘ТА, 
.
Поскольку 
, то 
.
Треугольник 
равнобедренный, т.к. две его стороны равны радиусу окружности, АВ – основание треугольника, углы при основании равны, отсюда 
Сумма углов треугольника составляет 
, запишем сумму для треугольника :
, что и требовалось доказать.
Итак, все вписанные углы, опирающиеся на отсеченную дугу АВ, равны углу между касательной и хордой.
Итак, мы дали определение окружности, вспомнили варианты взаимного расположения окружности и прямой. Мы рассмотрели простейшую геометрическую конструкцию – окружность и точку на окружности. В связи с этой конструкцией мы рассмотрели несколько теорем и их следствий.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Задание 1: расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.
- Задание 2: хорды АВ и СК окружности с центром О равны. Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и К.
- Задание 3: на полуокружности АВ взяты точки С и К так, что
. Найдите хорду СК, если радиус окружности – 15 см.
