Площадь

Тема: Повторение курса геометрии 8 класса

Урок: Площадь

1. Площади некоторых четырехугольников

 

Вспомним основные формулы площади основных фигур.

Квадрат

, где а – длина стороны квадрата.

Прямоугольник

, где а и b – длины сторон прямоугольника.

Параллелограмм

Площадь определяется стороной и опущенной к ней высотой.

, где а и b – длины сторон,  и  – длины высот, опущенных к соответствующим сторонам (см. Рис. 1).

Рис. 1

2. Площадь треугольника

Треугольник можно рассматривать как половину параллелограмма, если провести в параллелограмме диагональ, получим два треугольника (см. Рис. 2). В таком случае имеем формулу:

Рис. 2

Площадь треугольника можно выразить иначе (см. Рис. 3).

Выразим высоту  из прямоугольного треугольника :

Подставим полученное выражение в формулу площади, получим:

Рис. 3

Кроме того, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности:

, где r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр треугольника.

Рассмотрим происхождение данной формулы. Помним, что для треугольников со вписанной окружностью есть методика решения задач: провести в треугольнике биссектрисы, найти их точку пересечения – центр вписанной окружности; найти расстояние от центра до сторон треугольника – радиусы, получить точки касания.

Рис. 4

Е, Р и К; далее нужно было бы отметить равные касательные и их связь со сторонами, но в данном случае в этом нет необходимости (см. Рис. 4).

Площади слагаемых выразим через сторону и высоту, причем высотой в данных треугольниках является радиус вписанной окружности:

Вынесем общий множитель за скобки:

По этой же формуле можно вычислять радиус описанной окружности.

Кроме того, площадь треугольника можно найти через радиус описанной окружности:

3. Площадь трапеции

Пусть заданы трапеция ABCD и ее средняя линия MN (см. Рис. 5). Напомним, что средняя линия соединяет середины боковых сторон трапеции, параллельна ее основаниям и равна их полусумме: .

Рис. 5

Напомним, что высотой трапеции называют расстояние между ее основаниями. Обозначим высоту данной трапеции h, среднюю линию обозначим за m. Высоты и средней линии трапеции достаточно, чтобы найти ее площадь:

4. Решение задач

Задача 1: в треугольнике  точка В переместилась по стороне АВ ближе к точке А, так что , аналогично точка С переместилась, так что . Получили новый треугольник  (см. Рис. 6). Доказать, что .

Доказательство:

Напомним, что площадь можно выразить как произведение сторон на синус угла между ними, получим:

Рис. 6

Таким образом, если треугольники имеют общий угол, то несложно выполнить сравнение их площадей, а мы знаем, что любой многоугольник можно разбить на треугольник, и таким образом выполнять сравнение.

Задача 2: найти отношение площадей подобных треугольников.

Дано:

Несложно доказать, что 

Напомним отношение периметров подобных треугольников:

В заключение рассмотрим, каким образом диагонали параллелограмма разобьют его площадь.

Задача 3: доказать, что диагонали параллелограмма рассекают его площадь на четыре равновеликих треугольника.

Дано: параллелограмм ABCD,

Доказать:

Рис. 7

Напомним, что, согласно свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим два треугольника и отношение их площадей:

 – высота, опущенная из вершины В на сторону АС, – является высотой для двух рассматриваемых треугольников. Получаем:

Таким образом, рассматриваемые площади треугольников равны. Аналогично можно доказать равенство остальных площадей и оттуда взять заданное выражение.

Докажем с помощью площади свойство биссектрисы.

Задача: биссектриса AL треугольника  рассекла сторону ВС на отрезки m и n (см. Рис. 8). Доказать, что полученные отрезки относятся как прилежащие к ним стороны треугольника:

Доказательство:

Обозначим площади маленьких треугольников:

Выразим площади разными способами:

, где  – высота, опущенная из вершины А.

 

Рис. 8

Приравняем правые части полученных выражений, получаем:

Итак, мы вспомнили, как находить площадь различных многоугольников, вывели много вариантов формулы площади треугольника и решили несколько задач, пользуясь выведенными формулами.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Edu.glavsprav.ru (Источник).
2. Uztest.ru (Источник).
3. School-collection.edu.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1: пусть О – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Докажите, что .
2. Задание 2: на сторонах АВ, ВС и СА треугольника  взяты точки К, М и Р так, что АК:КВ = 1:2, ВМ:МС = 2:3, СР:РА = 3:4. Площадь треугольника  равна 1. Найдите площадь треугольника .
3. Задание 3: вершины А, В, С и D параллелограмма соединены прямыми соответственно с серединами сторон ВС, CD, DA и АВ. Найдите площадь параллелограмма, ограниченного этими прямыми, если площадь параллелограмма ABCD равна 1.