Тема: Повторение курса геометрии 8 класса
Урок: Подобные треугольники. Признаки подобия
1. Определение подобных треугольников
В подобных треугольниках важное место занимает понятие отношения отрезков. Напомним, что отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин. Если отношения двух пар отрезков равны, то говорят, что отрезки пропорциональны (см. Рис. 1):
Треугольники 
и 
в некотором смысле похожи. Если их соответствующие углы равны:
а отношения соответствующих сторон одинаковы:
, k – коэффициент подобия, то треугольники называются подобными:
.
Рис. 1
2. Признаки подобия треугольников
Треугольник называется подобным треугольнику (), если все их соответствующие углы равны между собой, и отношения сходственных сторон (т.е. сторон, лежащих против равных углов) равны.
Отметим, что мы уже имели дело с частным случаем подобия – равенством двух треугольников 
. Напомним, что два треугольника называются равными, если все их соответствующие углы равны, и все стороны соответственно равны. В данном случае мы имеем дело с подобными треугольниками, коэффициент подобия которых равен единице.
Чтобы установить подобие треугольников, нужно установить справедливость приведенных шести равенств (углов и отношений сторон), но не всегда возможно это сделать. Для этого существуют признаки подобия треугольников.
Всего существует три признака подобия. Перечислим их:
1. По равенству двух углов: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны:
.
2. По пропорциональности двух сторон и равенству угла между ними: если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны: 
.
3. По пропорциональности трёх сторон: если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны: 
.
3. Решение примеров
Пример 1: доказать, что периметр треугольника относится к периметру треугольника как коэффициент подобия, если заданные треугольники подобны.
Напомним, что периметр – это сумма линейных элементов, сумма трех сторон треугольника.
Итак, имеем два подобных треугольника: 
. 
Доказать, что 
.
Доказательство:
Комментарий: мы выразили сторону одного треугольника через сторону второго с помощью коэффициента подобия, записали отношение периметров треугольников, подставили туда полученные выражения, вынесли за скобки общий множитель и сократили дробь.
Напомним, что площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
Пояснение: площадь треугольника – это произведение двух линейных элементов – сторона на высоту.
Пример 2 – задача 549: стороны данного треугольника: 15 см, 20 см и 30 см (см. Рис. 2). Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26 см.
В предыдущей задаче мы доказали, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Периметр треугольника нам задан, периметр треугольника мы можем найти, так как нам заданы длины его сторон, таким образом, мы найдем коэффициент подобия и определим искомые длины сторон.
Рис. 2
Итак, мы рассмотрели подобные треугольники, вспомнили, какие треугольники называются подобными и в чем смысл подобия треугольников. Также вспомнили признаки подобия треугольников. Выяснили, что равенство треугольников – это частный случай подобия.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Задание 1: на стороне ВС треугольника отмечена точка М так, что треугольники
и подобны. Найдите АВ, если ВМ = 4 см, СМ = 5 см. - Задание 2: диагональ АС трапеции ABCD с основаниями AD = 12 см и ВС = 3 см разделяет ее на два подобных треугольника. Найдите АС.
- Задание 3: диагональ АС, равная 6 см, разделяет трапецию ABCD на два подобных треугольника. Известны боковые стороны трапеции АВ = 4 см и CD = 6 см. Найдите периметр трапеции.
