Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Тема: Повторение курса геометрии 8 класса

Урок: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

1. Прямоугольный треугольник, определение тригонометрических функций

Нарисуем прямоугольный треугольник , угол  прямой. , катет , , катет . Гипотенуза  (см. Рис. 1).

Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике задаются тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.

Рис. 1

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к гипотенузе.

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к гипотенузе.

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему.

Определение:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к противолежащему.

Кроме того, важный факт касается углов прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет .

Для удобства выпишем выражения для всех сторон треугольника через тригонометрические соотношения.

2. Правила нахождения сторон прямоугольного треугольника

Правило нахождения катета через гипотенузу:

Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего ему угла.

Правило нахождения катета через второй катет:

Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс противолежащего искомому катету угла или на котангенс прилежащего искомому катету угла.

3. Основные тригонометрические тождества

Напомним другие важные тригонометрические соотношения:

1.       – основное тригонометрическое тождество;

Доказательство:

Вспомним теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

α=b

Согласно правилу нахождения гипотенузы:

 

АВ=аsinα=c

Рис. 2

 

Итак, мы рассмотрели основные соотношения, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Вспомнили основные формулы, которые связывают тригонометрические функции острого угла. Кроме того, мы решили несколько типовых задач.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).
2. Terver.ru (Источник).
3. Bymath.net (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1: в равнобедренном треугольнике ∆КРО с основанием РО проведена высота КН. Найдите угол ∠ОСН, если угол ∠Р=54°.
2. Задание 2: один из углов прямоугольного треугольника 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4с м. Найдите гипотенузу треугольника.
3. Задание 3: в прямоугольном треугольнике ∆АВС с прямым углом ∠С внешний угол при вершине А равен 120°. АС+АВ = 18 см, найдите длины АС и АВ.