Тема: Повторение курса геометрии 8 класса
Урок: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
1. Прямоугольный треугольник, определение тригонометрических функций
Нарисуем прямоугольный треугольник , угол
прямой.
, катет
,
, катет
. Гипотенуза
(см. Рис. 1).
Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике задаются тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.
Рис. 1
Определение
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к гипотенузе.
Определение
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к гипотенузе.
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему.
Определение:
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к противолежащему.
Кроме того, важный факт касается углов прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет .
Для удобства выпишем выражения для всех сторон треугольника через тригонометрические соотношения.
2. Правила нахождения сторон прямоугольного треугольника
Правило нахождения катета через гипотенузу:
Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего ему угла.
Правило нахождения катета через второй катет:
Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс противолежащего искомому катету угла или на котангенс прилежащего искомому катету угла.
3. Основные тригонометрические тождества
Напомним другие важные тригонометрические соотношения:
1. – основное тригонометрическое тождество;
Доказательство:
Вспомним теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
α=b
Согласно правилу нахождения гипотенузы:
АВ=аsinα=c
Рис. 2
Итак, мы рассмотрели основные соотношения, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Вспомнили основные формулы, которые связывают тригонометрические функции острого угла. Кроме того, мы решили несколько типовых задач.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Задание 1: в равнобедренном треугольнике ∆КРО с основанием РО проведена высота КН. Найдите угол ∠ОKН, если угол ∠Р=54°.
- Задание 2: один из углов прямоугольного треугольника 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4с м. Найдите гипотенузу треугольника.
- Задание 3: в прямоугольном треугольнике ∆АВС с прямым углом ∠С внешний угол при вершине А равен 120°. АС+АВ = 18 см, найдите длины АС и АВ.