05. Вписанные и описанные окружности

Свойства серединного перпендикуляра, описанная окружность и треугольник

В курсе геометрии мы встречались с самыми разнообразными многоугольниками – это и треугольники, и четырехугольники, и -угольники. Среди четырехугольников можно отметить параллелограмм и его частные случаи – ромб, прямоугольник и квадрат. Кроме того, это трапеция, произвольные выпуклые четырехугольники и т.д. В некоторые из вышеупомянутых фигур можно вписать окружность, около некоторых – описать окружность.

Вспомним, какими свойствами должен обладать многоугольник, чтобы в него можно было вписать окружность, как найти центр этой окружности и каким образом ее радиус соотносится со сторонами многоугольника.

Также вспомним, около каких многоугольников можно описать окружность, как найти ее центр и как соотносится ее радиус со сторонами многоугольника.

Рассмотрим описанную окружность (см. Рис. 1). Вся теория о ней базируется на простом факте. Пусть задан отрезок , который может быть стороной произвольного многоугольника. Через середину данного отрезка проходит серединный перпендикуляр . Свойство точек серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка и : . Таким образом, если необходимо описать окружность около отрезка, то центр этой окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

Если задана произвольная точка , и не известно, принадлежит ли она серединному перпендикуляру, но сказано, что она равноудалена от концов отрезка, то несложно доказать, что точка принадлежит серединному перпендикуляру и является центром одной из окружностей, описанных около отрезка.

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Мы доказывали, что для любого треугольника существует точка пересечения его серединных перпендикуляров, причем одна и единственная, и эта точка является центром описанной окружности для данного треугольника. То есть эта точка равноудалена от всех вершин треугольника (см. Рис. 2).

Теорема

Если около произвольного многоугольника можно описать окружность, то ее центр будет расположен на пересечении всех серединных перпендикуляров ко всем сторонам многоугольника.

Чтобы определить для треугольника радиус описанной окружности, можно воспользоваться формулой:

Или следствием из теоремы синусов:

Свойства биссектрисы, вписанная окружность и треугольник

В любой треугольник можно вписать окружность.

Вся теория вписанных окружностей базируется на свойстве биссектрисы угла. Точки, принадлежащие биссектрисе угла, обладают следующим свойством: любая точка биссектрисы и только точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

Для нас важен тот факт, что в один угол можно вписать окружность, таких окружностей бесчисленное множество, и их центры находятся на биссектрисе угла (см. Рис. 3).

Для треугольника мы доказывали теорему о пересечении биссектрис, в которой говорится, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, такая точка единственная, и она является центром вписанной в треугольник окружности (см. Рис. 4).

Теорема

Если в многоугольник можно вписать окружность, то ее центр находится в точке пересечения биссектрис всех углов многоугольника.

Для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности можно выразить его из формулы: , где – площадь треугольника, – его полупериметр.

Вписанный четырехугольник

Рассмотрим соотношения окружностей и четырехугольников.

Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника.

Задана окружность с центром и произвольный четырехугольник (см. Рис. 5). Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в одной точке: эта точка – центр описанной окружности.

Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Есть другой признак. Рассмотрим угол , это вписанный угол окружности, он опирается на дугу  и измеряется половиной градусной меры данной дуги. Обозначим угол за , тогда дуга . Аналогично обозначим противоположный угол за , он вписан в окружность и опирается на дугу Отсюда дуга .

Дуги  и  составляют полную окружность. Отсюда:

, .

Поделим полученное выражение на два, получаем:

.

Итак, мы доказали прямую теорему.

Теорема

Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет .

Описанный четырехугольник

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если сумма противоположных углов четырехугольника составляет , около этого четырехугольника можно описать окружность.

Перейдем к вписанной в четырехугольник окружности (см. Рис. 6).

Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника.

Напомним, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Проведем биссектрисы углов заданного четырехугольника. Все они пересекаются в одной точке – точке , центре вписанной окружности.

Из точки опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки , , , и определяем точки касания.

Из каждой вершины выходит пара равных касательных:

, , , .

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:

; ; ; ;

;

Раскроем скобки:

;

Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.

Теорема

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

На основании приведенных теорем можно сделать следующие выводы:

- в произвольный параллелограмм нельзя ни вписать окружность, ни описать ее вокруг него;

- в четырехугольники, являющиеся частным случаем параллелограмма, можно вписать или описать окружность. Например, около прямоугольника можно описать окружность, так как сумма его противоположных углов составляет . В ромб можно вписать окружность, так как суммы его противоположных сторон равны;

- иногда в трапецию можно вписать окружность, а около равнобедренной трапеции – описать окружность.

Правильный n-угольник и окружность

Рассмотрим правильный n-угольник, заданный длиной стороны . Центры вписанной и описанной окружностей в нем совпадают, и полученная точка называется центром -угольника (см. Рис. 7).

Заданы длина стороны -угольника и количество сторон.

Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

Радиусом описанной окружности будет .

Радиусом вписанной окружности будет расстояние .

Найдем угол : .

Угол  составляет половину угла , т.к. треугольник  равнобедренный (), а – его высота, проведенная к основанию, а значит, биссектриса и медиана: .

Далее все сводится к решению одного из прямоугольных треугольников, например, треугольника , в котором нам известны угол  и катет .

Получаем:

Итак, мы рассмотрели соотношение окружностей и многоугольников. Мы вспомнили, что теория описанной окружности базируется на свойстве серединного перпендикуляра, тогда как теория вписанной окружности основана на свойстве биссектрисы. Кроме того, мы вспомнили признаки, по которым можно судить, можно ли около четырехугольника описать окружность или вписать ее. Наконец, мы вывели длину радиусов вписанной и описанной окружностей для правильных n-угольников в общем случае.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «mschool.kubsu.ru» (Источник).

3. Интернет-портал «ege-study.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1: окружность, вписанная в треугольник , касается его сторон в точках , и . Докажите, что: .

2. Задание 2: постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.

3. Задание 3: найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием и боковой стороной .