Применение векторов к решению задач

Выражение вектора через два неколлинеарных

Напомним, что мы уже изучили некоторые факты о векторах, и теперь умеем определять равные векторы, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположно направленные. Также мы умеем складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма, складывать несколько векторов по правилу многоугольника, умеем умножать вектор на число. Решение задач с векторами использует все эти знания. Перейдем к решению некоторых примеров.

Пример 1 – задача 769: отрезок ВВ₁ – медиана треугольника . Выразите через векторы  и  векторы , ,  и .

Отметим, что векторы  и  неколлинеарны, то есть прямые АВ и АС не параллельны.

В дальнейшем мы узнаем, что любой вектор может быть выражен через два неколлинеарных вектора.

Выразим первый вектор (см. Рис. 1): , т. к. по условию ВВ₁ – медиана треугольника, значит, векторы  и  имеют равные модули, кроме того, очевидно, что они коллинеарны и при этом сонаправлены, значит, данные вектора равны.

Рис. 1

Для выражения следующего вектора воспользуемся правилом параллелограмма для вычитания. Мы помним, что одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов, а вторая – их разности. Диагональ, соответствующая разности векторов, следует от конца к началу, таким образом, если построить на заданных векторах  и  параллелограмм, то его диагональ  будет соответствовать разности .

Вектор  является противоположным к заданному вектору , отсюда .

Вектор  аналогично вектору  можно представить в виде разности векторов . При выражении следует учесть тот факт, что точка В₁ является серединой отрезка АС, значит, векторы  и  равны, значит, вектор  можно представить как удвоенное произведение вектора .

Перед решением задачи мы сказали, что через заданные два неколлинеарных вектора можно выразить любой вектор. Выразим, например, медиану АА₁ (см. Рис. 2).

Получили систему уравнений, выполним их сложение:

Векторы  в сумме составляют нулевой вектор, так как они коллинеарны и противонаправлены, а модули их равны, таким образом получаем:

Рис. 2

Поделим обе части уравнения на два, получим:

Из данной задачи можно сделать вывод, что если заданы два неколлинеарных вектора, то любой третий вектор на плоскости можно однозначно выразить через эти два вектора. Для этого необходимо применить правило сложения векторов, либо методом треугольника, либо параллелограмма, и правило умножения вектора на число.

Свойство средней линии треугольника

Пример 2: доказать с помощью векторов свойство средней линии треугольника (см. Рис. 3).

Задан произвольный треугольник , точки M и N – середины сторон АВ и АС соответственно, MN – средняя линия треугольника. Свойство средней линии: средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине.

Доказательство данного свойства аналогично для треугольника и трапеции.

Рис. 3

Выразим вектор  двумя способами:

Получили систему уравнений:

          Выполним сложение уравнений системы:

Сумма векторов  – это нулевой вектор, длины этих векторов равны по условию, кроме того, они очевидно коллинеарны и противонаправлены. Аналогично суммой векторов  будет нулевой вектор. Получаем:

Поделим обе части уравнения на два:

Таким образом, мы получили, что средняя линия треугольника равна половине его основания. Кроме того, из равенства вектора  половине вектора  следует, что эти векторы коллинеарны и сонаправлены, а значит, прямые MN и ВС параллельны.

Таким образом, мы доказали свойство средней линии трапеции при помощи векторов.

Свойство точки пересечения медиан треугольника

Пример 3: задан произвольный треугольник  (см. Рис. 4). В нем проведены медианы АА₁, ВВ₁, СС₁. Точка пересечения медиан – М. Вектор  соответствует силе ,  – силе ,  – силе . Доказать, что .

Напомним, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Иногда точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника.

Выполним сложение векторов , воспользуемся для этого правилом параллелограмма (см. Рис. 5).

Рис. 4

Получаем:

С другой стороны, , так как BMCD – параллелограмм, диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, А₁ – точка пересечения диагоналей параллелограмма, значит, отрезки МА₁ и А₁D равны, отсюда, по свойству точки пересечения медиан, длины векторов  и  равны, но данные векторы противонаправлены, а значит, их сумма

Рис. 5

равна нулевому вектору. Мы помним, что вектор , а вектор , таким образом, , что и требовалось доказать.

Неравенство треугольника

Пример 4 – задача 773: докажите, что для любых векторов  и  справедливо следующее неравенство:

Решение: представим разность векторов в виде суммы: . Также обратим внимание на тот факт, что длины противонаправленных векторов  и  равны: . Таким образом, можно переписать исходное выражение:

Для удобства введем новую переменную:  и перепишем выражение:

. А данное неравенство – неравенство треугольника – было доказано в предыдущем уроке. Отметим, что равенство наблюдается в том случае, когда треугольник вырождается в отрезок.

Итак, мы рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Terver.ru (Источник).
2. Cleverstudents.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1: заданы два неколлинеарных вектора  и . Постройте векторы: ; ; .
2. Задание 2: заданы два коллинеарных вектора  и . Постройте векторы: ; ; .
3. Задание 3: докажите, что для любого вектора  справедливы равенства: ; .