В предыдущих уроках мы неоднократно решали следующую задачу: даны два неколлинеарных вектора, через которые в многоугольнике нужно выразить некоторые другие векторы. Выполним обобщение такого типа задач.

Теорема

Заданы векторы и . Векторы неколлинеарны. Доказать, что любой третий вектор однозначно выражается через векторы и , то есть найдутся такие числа х и у, что: .

Если данная теорема будет доказана, то в некотором смысле можно сказать, что, зная два неколлинеарных вектора, мы владеем всеми остальными векторами на плоскости.

Доказательство:

Из точки С, конца вектора , проведем прямые, параллельные векторам и . Получим точки А, В – пересечения построенных прямых с продолжениями векторов. Концы векторов обозначим за F и К соответственно (см. Рис. 1). Воспользуемся правилом треугольника и выразим вектор :

Вектор коллинеарен вектору , так как они

Рис. 1

принадлежат одной прямой согласно построению. Отсюда найдется такое число х, которое в произведении с вектором даст вектор : . С другой стороны, вектор равен вектору по построению, вектор коллинеарен вектору , значит, аналогично сказанному ранее, .

Таким образом, , то есть вектор является линейной комбинацией неколлинеарных векторов и . Кроме того, нашлась такая пара чисел х и у, с помощью которых любой вектор на плоскости можно выразить через два заданных неколлинеарных вектора.

Докажем, что такая пара единственная. Предположим противное: пусть существует такая пара чисел х₁ и у₁, что . Мы предположили, что есть еще одна линейная комбинация тех же двух неколлинеарных векторов для того же третьего вектора. Выполним вычитание полученных выражений:

Слева в выражении стоит нулевой вектор, справа – линейная комбинация двух неколлинеарных векторов, которые друг через друга не выражаются, таким образом, чтобы выполнялось равенство, коэффициенты при векторах в правой части должны быть нулевыми, то есть .

Вывод: разложение вектора по двум неколлинеарным векторам однозначно.