Пример 1 – задача 790: докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности (см. Рис. 2).

Доказать: ; (при условии, что AD – большее основание, обозначим его за b, а ВС – меньшее основание, обозначим его за а).

Рис. 2

Доказательство:

Введем вектор . Выразим его через другие векторы, пользуясь правилом многоугольника. Напомним, что вектор , :

С другой стороны:

Выполним сложение полученных выражений:

Векторы очевидно противоположны, и их сумма составляет нулевой вектор, аналогично и векторы сокращаются. Получаем:

Поделим обе части выражения на два:

Из полученного равенства следует, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований. Кроме того, из равенства векторов в правой и левой частях следует, что они коллинеарны между собой, а также коллинеарны векторам и , таким образом, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям, что и требовалось доказать.

Обратим внимание, что несложно доказывается тот факт, что отрезок MN принадлежит средней линии трапеции, и данным фактом можно пользоваться при решении различных задач (см. Рис. 3). Напомним, что отрезок средней линии ММ₁ – средняя линия треугольника , отсюда . Аналогично . Таким образом, можно найти длину отрезка, не пользуясь

Рис. 3

векторами, для этого следует вычесть из длины средней линии трапеции (она равна полусумме оснований) длины только что найденных отрезков:

Итак, мы рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «terver.ru» (Источник).
Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1: точки M и N – середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. Докажите, что

2. Задание 2: дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника

3. Задание 3: докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.