Теорема о двух неколлинеарных векторах
В предыдущих уроках мы неоднократно решали следующую задачу: даны два неколлинеарных вектора, через которые в многоугольнике нужно выразить некоторые другие векторы. Выполним обобщение такого типа задач.
Теорема
Заданы векторы 
и 
. Векторы неколлинеарны. Доказать, что любой третий вектор 
однозначно выражается через векторы и , то есть найдутся такие числа х и у, что: 
.
Если данная теорема будет доказана, то в некотором смысле можно сказать, что, зная два неколлинеарных вектора, мы владеем всеми остальными векторами на плоскости.
Доказательство:
Из точки С, конца вектора , проведем прямые, параллельные векторам и . Получим точки А, В – пересечения построенных прямых с продолжениями векторов. Концы векторов обозначим за F и К соответственно (см. Рис. 1). Воспользуемся правилом треугольника и выразим вектор :
Вектор 
коллинеарен вектору , так как они
Рис. 1
принадлежат одной прямой согласно построению. Отсюда найдется такое число х, которое в произведении с вектором даст вектор : 
. С другой стороны, вектор 
равен вектору 
по построению, вектор коллинеарен вектору , значит, аналогично сказанному ранее, 
.
Таким образом, , то есть вектор является линейной комбинацией неколлинеарных векторов и . Кроме того, нашлась такая пара чисел х и у, с помощью которых любой вектор на плоскости можно выразить через два заданных неколлинеарных вектора.
Докажем, что такая пара единственная. Предположим противное: пусть существует такая пара чисел х1 и у1, что 
. Мы предположили, что есть еще одна линейная комбинация тех же двух неколлинеарных векторов для того же третьего вектора. Выполним вычитание полученных выражений:
Слева в выражении стоит нулевой вектор, справа – линейная комбинация двух неколлинеарных векторов, которые друг через друга не выражаются, таким образом, чтобы выполнялось равенство, коэффициенты при векторах в правой части должны быть нулевыми, то есть 
.
Вывод: разложение вектора по двум неколлинеарным векторам однозначно.
Задача о трапеции
Пример 1 – задача 790: докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности (см. Рис. 2).
Доказать: 
; 
(при условии, что AD – большее основание, обозначим его за b, а ВС – меньшее основание, обозначим его за а).
Рис. 2
Доказательство:
Введем вектор 
. Выразим его через другие векторы, пользуясь правилом многоугольника. Напомним, что вектор 
, 
:
С другой стороны:
Выполним сложение полученных выражений:
Векторы 
очевидно противоположны, и их сумма составляет нулевой вектор, аналогично и векторы 
сокращаются. Получаем:
Поделим обе части выражения на два:
Из полученного равенства следует, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований. Кроме того, из равенства векторов в правой и левой частях следует, что они коллинеарны между собой, а также коллинеарны векторам и , таким образом, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям, что и требовалось доказать.
Обратим внимание, что несложно доказывается тот факт, что отрезок MN принадлежит средней линии трапеции, и данным фактом можно пользоваться при решении различных задач (см. Рис. 3). Напомним, что отрезок средней линии ММ1 – средняя линия треугольника 
, отсюда 
. Аналогично 
. Таким образом, можно найти длину отрезка, не пользуясь
Рис. 3
векторами, для этого следует вычесть из длины средней линии трапеции (она равна полусумме оснований) длины только что найденных отрезков:
Итак, мы рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Задание 1: точки M и N – середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. Докажите, что 
2. Задание 2: дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника
3. Задание 3: докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.
