06. Применение векторов к решению задач (продолжение)

Теорема о двух неколлинеарных векторах

В предыдущих уроках мы неоднократно решали следующую задачу: даны два неколлинеарных вектора, через которые в многоугольнике нужно выразить некоторые другие векторы. Выполним обобщение такого типа задач.

Теорема

Заданы векторы  и . Векторы неколлинеарны. Доказать, что любой третий вектор  однозначно выражается через векторы  и , то есть найдутся такие числа и , что: .

Если данная теорема будет доказана, то в некотором смысле можно сказать, что, зная два неколлинеарных вектора, мы владеем всеми остальными векторами на плоскости.

Доказательство:

Из точки , конца вектора , проведем прямые, параллельные векторам  и . Получим точки , – пересечения построенных прямых с продолжениями векторов. Концы векторов обозначим за и соответственно (см. Рис. 1). Воспользуемся правилом треугольника и выразим вектор :

Вектор  коллинеарен вектору , так как они

принадлежат одной прямой согласно построению. Отсюда найдется такое число х, которое в произведении с вектором  даст вектор : . С другой стороны, вектор  равен вектору  по построению, вектор  коллинеарен вектору , значит, аналогично сказанному ранее, .

Таким образом, , то есть вектор  является линейной комбинацией неколлинеарных векторов  и . Кроме того, нашлась такая пара чисел и , с помощью которых любой вектор на плоскости можно выразить через два заданных неколлинеарных вектора.

Докажем, что такая пара единственная. Предположим противное: пусть существует такая пара чисел и , что . Мы предположили, что есть еще одна линейная комбинация тех же двух неколлинеарных векторов для того же третьего вектора. Выполним вычитание полученных выражений:

Слева в выражении стоит нулевой вектор, справа – линейная комбинация двух неколлинеарных векторов, которые друг через друга не выражаются, таким образом, чтобы выполнялось равенство, коэффициенты при векторах в правой части должны быть нулевыми, то есть , ; , .

Вывод: разложение вектора  по двум неколлинеарным векторам однозначно.

Задача о трапеции

Пример 1 – задача 790: докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности (см. Рис. 2).

Доказать: ;  (при условии, что – большее основание, обозначим его за , а – меньшее основание, обозначим его за ).

Доказательство:

Введем вектор . Выразим его через другие векторы, пользуясь правилом многоугольника. Напомним, что вектор , :

С другой стороны:

Выполним сложение полученных выражений:

Векторы и  очевидно противоположны, и их сумма составляет нулевой вектор, аналогично и векторы и  сокращаются. Получаем:

Поделим обе части выражения на два:

Из полученного равенства следует, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований. Кроме того, из равенства векторов в правой и левой частях следует, что они коллинеарны между собой, а также коллинеарны векторам  и , таким образом, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям, что и требовалось доказать.

Обратим внимание, что несложно доказывается тот факт, что отрезок принадлежит средней линии трапеции, и данным фактом можно пользоваться при решении различных задач (см. Рис. 3).  Напомним, что отрезок средней линии – средняя линия треугольника , отсюда . Аналогично . Таким образом, можно найти длину отрезка, не пользуясь векторами, для этого следует вычесть из длины средней линии трапеции (она равна полусумме оснований) длины только что найденных отрезков:

Итак, мы рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Домашнее задание

1. Задание 1: точки и – середины диагоналей и четырехугольника . Докажите, что .

2. Задание 2: дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .

3. Задание 3: докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.