Определение правильного многоугольника
Правильным многоугольником называется такой выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.
Вот фрагмент правильного n-угольника: 
– сторона, 
– длина этой стороны, 
– угол (рис. 1). Все стороны равны, и все углы тоже равны:
Рис. 1. Выпуклый многоугольник
Такой выпуклый n-угольник называется правильным.
Особенности правильного многоугольника
У правильного n-угольника есть важные особенности.
1. Серединные перпендикуляры всех сторон пересекаются в одной точке (
), в центре описанной окружности, радиусом окружности является отрезок 
; 
и т. д.
2. Все биссектрисы всех внутренних углов пересекаются в одной точке . Значит, в n-угольник можно вписать окружность, 
– середины сторон, это точки касания, 
– это радиус вписанной окружности.
Итак, есть описанная окружность и есть вписанная окружность, центр один и тот же (точка ), эта точка называется центром правильного n-угольника, а радиусы 
являются важными элементами этого -угольника(рис. 2).
Далее отметим, что имеем равенство треугольников 
, 
и т. д.
Если мы зафиксируем 
, то важнейшими элементами n-угольника являются: длина стороны (); длина радиуса описанной окружности (
); длина радиуса вписанной окружности (
); периметр (
); площадь (
. Первые 4 элемента линейные. При заданном любой из линейных элементов однозначно задает n-угольник, а значит, и все его основные элементы.
Рис. 2. Правильный многоугольник с описанной и вписанной окружностями
Задача 1, вычисление элементов правильного n – угольника через радиус описанной окружности
Зададим 
(рис. 3), требуется найти все остальные элементы (
), заметим, что у нас – фиксированное число.
Рис. 3. Элементы многоугольника
Решение
Решение основано на треугольнике 
.
– это центр n-угольника, центр вписанной и описанной окружности;
– это вершина, она лежит на описанной окружности, значит, – это и есть радиус.
– это половина стороны, потому что точка 
– это точка касания с вписанной окружностью.
Важно, что мы знаем 
(∠
, а 
– половина этого угла).
– радиус описанной окружности; – радиус вписанной окружности;
– половина стороны.
Если нам дан радиус, то, по существу, нам необходимо решить прямоугольный треугольник, в котором дана гипотенуза () и острый угол.
Чтобы найти катет (), необходимо гипотенузу () умножить на синус противолежащего угла ():
Задача решена, методика решения остальных задач такая же.
Задача 2, вычисление элементов правильного n – угольника через длину стороны
Дано:
Найти: 
Решение
Решение основано на 
.
Находим (рис. 4), – гипотенуза, чтобы найти гипотенузу, необходимо катет разделить на синус противолежащего угла.
Находим (рис. 4), – катет, чтобы найти катет через другой катет, необходимо этот другой катет умножить на котангенс прилежащего угла:
Осталось найти 
:
Рис. 4. Радиусы описанной и вписанной окружностей
Задача решена.
Задача 3, для площади правильного n – угольника
Дано: 
Найти:
Решение
– это периметр ()
Ответ:
.
Частные случаи
Задача 4, для правильного треугольника
Важнейшим частным случаем является правильный треугольник.
Задача 4
Первый способ
Дано: 
;
Найти: 
Решение
Задача решена.
Второй способ
Рис. 5. Радиусы описанной и вписанной окружности
Рисунок 6. 
Чтобы найти катет () (рис. 5), необходимо гипотенузу умножить на 
:
Катет, лежащий против угла в
, равен половине гипотенузы:
Чтобы найти катет, нужно гипотенузу умножить на 
:
Задача решена.
Вывод
Мы познакомились с понятием «правильный многоугольник», узнали, каковы его элементы, и вывели формулы для их вычисления, решили типовые задачи, рассмотрели задачи частного случая.
Список литературы
- Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
Задание 1. Верно ли утверждение:
а) любой правильный многоугольник является выпуклым;
б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.
Задание 2. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 
см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.
Задание 3. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 
см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?
