Окружность, описанная около правильного многоугольника

Тема: Длина окружности и площадь круга

Урок: Окружность, описанная около правильного многоугольника

 

1. Введение

Вспомним определение: правильным называется такой выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Рис. 1.

На Рис. 1 приведен пример правильного многоугольника А_{1 …} А_n.

Он является выпуклым, поскольку целиком располагается по одну сторону (в одной полуплоскости)  от прямой, проведенной через любую из его сторон (например

через сторону A₁A₂).

Все стороны многоугольника равны между собой:

a_n = A₁A₂ = A₂A₃ = … = A_n-1A_n = A_nA₁

Все углы фигуры также равны между собой, причем .

Вспомнимеще одно определение: окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

На Рис. 2 дан пример окружности, описанной около прямоугольника ABCD. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке О, равноудаленной от его вершин, причем расстояние от этой точки до любой вершины равно радиусу окружности:

OA = OB = OC = OD = R.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

Следующий пример – равнобедренная трапеция ABCD  (Рис. 3). Как известно, около такой трапеции можно описать окружность, т. е. существует такая точка О, которая равноудалена от всех вершин трапеции:

OA = OB = OC = OD = R.

Каждый многоугольник состоит из отдельных отрезков – сторон многоугольника. На Рис. 4 дан пример такого отрезка АВ. Точка М – середина этого отрезка, а прямая р – серединный перпендикуляр. Вспомним и его определение: серединным перпендикуляром к отрезку называется геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

О ∈ р  ⟺ ОА = ОВ  (точка О принадлежит серединному перпендикуляру р тогда и только тогда, когда ОА = ОВ). Это пояснение распадается на два утверждения.

Первое утверждение: если точка К  лежит на серединном перпендикуляре, то она равноудалена от точек А и В, т. е. КА = КВ = R₁.

Это утверждение становится очевидным, если обратить внимание на равенство прямоугольных треугольников ∆КМА и ∆КМВ (по двум катетам).

Второе (обратное) утверждение: пусть точка О равноудалена от концов отрезка АВ. Принадлежит ли она серединному перпендикуляру? Ответ утвердительный, поскольку ∆ОМА = ∆ОМВ (по трем сторонам), и, следовательно, отрезок ОМ  – медиана равнобедренного ∆АВО, а по свойствам такой медианы, она же является и высотой данного треугольника.

Отмеченные свойства серединного перпендикуляра, по существу, лежат в основе описания всех свойств описанных окружностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.

Поясним это определение.

Примером тому может служить следующее утверждение (см. Рис. 5): около   n-угольника А_{1 …} А_nможно описать окружность тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры всех его сторон имеют общую точку:

,то есть эта точка О равноудалена от всех вершин фигуры.

Приведем конкретные примеры.

Правильный треугольник (n = 3)

Известно, что около любого треугольника АВС, в том числе правильного, можно описать окружность (Рис. 6). Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров (). Особенность этого случая такова, что в случае правильного треугольника на серединных перпендикулярах лежат и биссектрисы, и медианы, и высоты. Точка О равноудалена от всех вершин треугольника.

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.

Правильный четырехугольник (n = 4), то есть квадрат АВСD.

Около такой фигуры (Рис. 7) также можно описать окружность. Ее центр будет лежать на пересечении серединных перпендикуляров. Особенностью этого случая является то, что серединные перпендикуляры противоположных сторон квадрата совпадают (р₁ = р₃; р₂ = р₄). Тем не менее все серединные перпендикуляры будут иметь общую точку О, равноудаленную от всех вершин квадрата: OA = OB = OC = OD = R.

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.

Правильный n-угольник. Докажем, что серединные перпендикуляры двух смежных сторон правильного многоугольника пересекаются.

На Рис. 8 приведен фрагмент правильного многоугольника. Используем метод доказательства от противного. Пусть серединные перпендикуляры двух смежных сторон многоугольника параллельны,  р₁ || р₂.

По условию, A₁A₂  ^  р₁ и A₂A₃  ^  р₂. Если серединные перпендикуляры параллельны между собой, то смежные стороны A₁A₂и A₂A₃  многоугольника должны совпасть (см. Рис. 9), что противоречит условию (поскольку нам дан правильный многоугольник, в котором внутренние углы меньше развернутого).Таким образом, существует точка О пересечения серединных перпендикуляров двух смежных сторон правильного многоугольника. Эта точка равноудалена от трех вершин многоугольника.

 

 

 

 

 

Рис. 8.

 

 

 

 

 

Рис 9.

Правильный n-угольник. Докажем, что биссектрисы двух соседних углов многоугольника пересекаются.

На Рис. 10 дан фрагмент правильного многоугольника, при этом A₁О и A₂О – биссектрисы двух его соседних углов. Снова воспользуемся доказательством от противного.

 

 

 

 

 

Рис. 10.

Пусть  A₁О || A₂О. Тогда половина угла A₁ в сумме с половиной угла A₂ дадут 180° как односторонние углы при параллельных прямых (см. Рис. 11). То есть Þ α = 180° (все обозначения показаны на рисунках). Последнее невозможно по причинам, указанным в предыдущем доказательстве.

Таким образом, существует точка пересечения биссектрис соседних углов правильного многоугольника (точка О), равноудаленная от вершин этих углов. Последнее свойство является следствием того, что половинки углов правильного многоугольника равны, а значит, ∆ОA₁A₂ – равнобедренный. То есть ОA₁ = ОA₂.

 

 

 

 

 

Рис. 11.

Теперь рассмотрим основную теорему данного урока:

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну. Первое доказательство проведем с помощью серединных перпендикуляров (Рис. 12).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12.

Пусть р₁ и р₂ – два серединных перпендикуляра, пересекающиеся в точке О (), и эта точка равноудалена от вершин A₁, A₂ и A₃многоугольника (ОA₁ = ОA₂ = ОA₃ = R, где R – радиус описанной вокруг многоугольника окружности). Докажем, что окружность проходит через следующую вершину А₄.

Рассмотрим треугольники ∆ОA₃A₂ и ∆ОA₃A₄. Из определения правильного многоугольника следует их равенство по двум сторонам и углу между ними (одна из сторон – общая для обоих треугольников ОA₃, а остальные – стороны правильного многоугольника A₃A₂  и A₄A₃, которые равны). Отсюда следует, что  ОA₄ = ОA₃ = R, то есть вершина А₄ также лежит на окружности. Проводя подобные рассуждения последовательно для всех остальных вершин, можно доказать, что и они все лежат на окружности. Эта окружность – единственная, так как она проходит через три точки (любые три вершины многоугольника), не лежащие на одной прямой.

Таким образом, теорема доказана. Второй способ доказательства использует свойства биссектрис соседних углов.

 

 

 

 

 

 

Рис. 13.

Пусть биссектрисы l₁ иl₂ пересекаются в точке О. Как мы доказали выше, l₁ =l₂ , то есть ∆ОA₁A₂ – равнобедренный. В этом треугольнике углы при основании (ÐA₁ и ÐA₂) равны.

Пусть l₁ =l₂ = R.

Далее замечаем, что ∆ОA₂A₁ = ∆ОA₂A₃ по двум сторонам и углу между ними. Значит, ОA₃ = ОA₂ = R. Проведя аналогичные рассуждения для всех остальных вершин многоугольника, приходим к выводу о том, что все вершины правильного многоугольника равноудалены от точки О – точки пересечения биссектрис его углов. Значит, около такого многоугольника можно описать окружность, причем эта окружность единственная, так как она проходит через три точки (любые три вершины многоугольника), не лежащие на одной прямой.

Теорема доказана.

Итак, на данном уроке мы доказали, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

 

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Uztest.ru (Источник).

2. Средняя математическая интернет-школа (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 211, контрольные вопросы № 3, 5, 6, 7, 2. Учебник Атанасяна (см. список литературы), глава 12, §1, п. 106.