Напомним определение: правильным многоугольником называется такой выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На Рис. 1 приведен фрагмент правильного многоугольника А_{1 …}А_n.

Рис. 1.

Все стороны многоугольника равны между собой:

a_n = A₁A₂ = A₂A₃ = … = A_n-1A_n= A_nA₁.

Все углы фигуры также равны между собой, причем .

Вписанная окружность касается каждой стороны многоугольника, поэтому целесообразно напомнить, что называется касанием прямой и окружности.

Определение: прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью, называется касательной к этой окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Рис. 2.

На Рис. 2 прямая m – касательная к окружности с центром в точке О. Точка А – точка касания.

Единственность точки касания доказывается теоремой, утверждающей, что m – касательная к заданной окружности тогда и только тогда, когда радиус, проведенный в точку А, перпендикулярен этой прямой.

Теория вписанных окружностей базируется на фундаментальном свойстве биссектрисы угла.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

На Рис. 3 приведен ÐА и его биссектриса – луч АО (обозначена на Рис. 3 как l). Если точка О принадлежит биссектрисе, то она равноудалена от сторон угла, т. е. ОВ = ОС (перпендикуляры, опущенные из точки О на стороны угла есть расстояния от точки до сторон угла).

Обратное утверждение: если точка О равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе. Доказывается это утверждение очень просто, если принять во внимание равенство прямоугольных треугольников АОВ и АОС: биссектриса у них общая и меньшие катеты равны.

Рис. 3.

Еще одно следствие равенства указанных треугольников: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой (АВ = АС).

Теперь дадим определение вписанной в многоугольник окружности и приведем примеры.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности.

Проиллюстрируем это определение на примере правильного треугольника АВС (Рис. 4).

Рис. 4.

Особенностью данного случая является тот факт, что серединные перпендикуляры, медианы, биссектрисы и высоты треугольника лежат на одних и тех же прямых, которые пересекаются в одной точке О. Эта точка является центром вписанной окружности. Точка О равноудалена от сторон любого из углов треугольника, т. к. одновременно принадлежит любой из указанных биссектрис, т. е.

ОА₁ = ОВ₁ = ОС₁ = r.

Кроме того, ОА₁^ ВС, ОВ₁^ ВС, ОС₁^ ВС.

Рис. 5.

Следующую иллюстрацию проведем на примере окружности, вписанной в правильный четырехугольник, т. е. в квадрат АВСD. АС и ВD – диагонали квадрата, являющиеся одновременно биссектрисами его углов. Точка О их пересечения, по свойствам биссектрис, равноудалена от всех сторон квадрата. Если из точки О опустить перпендикуляры на стороны квадрата, то полученные отрезки (OK, OL, OM, ON) будут равны между собой и равны радиусу вписанной окружности (см. Рис. 5),

OK ^ AD, OL ^ AB, OM ^ BC, ON ^ CD.

Следующее утверждение ограничивает для нас множество многоугольников, в которые можно вписать окружность.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его углов имеют общую точку.

Рассмотрим Рис. 6.

Рис. 6.

У приведенного пятиугольника биссектрисы всех углов пересекаются в точке О. Следовательно, эта точка равноудалена от всех сторон пятиугольника, являясь центром вписанной окружности. При этом

OH₁ = OH₂ = … = OH₅ = r.

OH₁^ A₁A₂, OH₂^ A₂A_{3, …}OH₅^ A₄A₅.

Рис. 7.

Перейдем к рассмотрению правильных многоугольников.

Следующее утверждение касается свойств биссектрис углов правильного многоугольника.

Биссектрисы соседних углов правильного многоугольника пересекаются.

Это утверждение уже было доказано нами ранее, но здесь мы кратко восстановим цепочку рассуждений, используемую при этом доказательстве.

Рассмотрим фрагмент правильного многоугольника, изображенный на Рис. 7.

Предположим, что биссектрисы l₁ и l₂ параллельны. Тогда по свойствам параллельных прямых, сумма внутренних односторонних улов равна 180°, то есть Þ α = 180° (все обозначения показаны на рисунках). Последнее равенство говорит о том, что смежные стороны многоугольника должны лежать на одной прямой, что противоречит условию. Значит, . Отсюда следует, что если соединить точку О с остальными вершинами многоугольника, то полученные отрезки также будут биссектрисами соответствующих углов (доказать это утверждение для следующей ближайшей вершины многоугольника можно, опираясь на равенство треугольников, например ∆ОA₂A₁ и ∆ОA₂A₃, по двум сторонам и углу между ними).

Рис. 7а.

Еще раз вернемся к свойствам точки О – точки пересечения биссектрис соседних углов правильного многоугольника.

Так как в точке О биссектрисы соседних углов пересекаются попарно, то можно утверждать, что все биссектрисы многоугольника пересекаются в этой точке, т. е. .

Основная теорема урока:

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. На Рис. 8 дан фрагмент правильного многоугольника.

Рис. 8.

Доказательство.

1. Как было показано выше, существует точка О – точка пересечения всех биссектрис данного многоугольника.

2. Эта точка равноудалена от всех сторон многоугольника. Как мы помним, расстояние от точки до стороны – это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную сторону (перпендикуляры на Рис. 8 обозначены ОН₁, ОН₂, … ОН_n). Если построить окружность радиуса ОН₁ = ОН₂ = … = ОН_n = r с центром в точке О, то все стороны многоугольника будут касаться этой окружности (по свойствам касательной к окружности). Следовательно, в данный многоугольник можно вписать окружность.

3. Поскольку точка О – единственная точка пересечения биссектрис, расстояние от этой точки до любой из сторон также единственно, то и вписанная в данный многоугольник окружность может быть только одна.

4. Можно привести и более подробное доказательство пункта 3, а именно: пусть существует и другая окружность, вписанная в данный многоугольник, центр ее будет располагаться в некоторой точке О₁. Тогда этот центр будет равноудален от всех сторон окружности, то есть лежать на пересечении биссектрис, т. е. будет совпадать с точкой О. Раз центры окружностей (а вместе с ними и радиусы) совпадают, то и сами окружности совпадут.

Рассмотрим несколько следствий из доказанной теоремы.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Доказательство проведем с помощью Рис. 9.

Рис. 9.

Радиус вписанной окружности – ОН₁. Треугольник ∆A₁A₂О – равнобедренный, поскольку его боковые стороны есть биссектрисы соседних углов многоугольника, а значит, углы ÐA₁ и ÐA₂ при основании данного треугольника равны как половины углов правильного многоугольника. Далее ОН₁^ А₁ А₂, т. е. является высотой данного треугольника, а по свойствам равнобедренного треугольника – и его медианой, опущенной на основание. Следовательно, Н₁ – середина стороны А₁ А₂.

Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него. Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Итак, в данном уроке мы рассмотрели окружность, вписанную в правильный многоугольник, доказали ее существование и единственность и вывели следствия из этого доказательства.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Uztest.ru (Источник).

2. Средняя математическая интернет-школа (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 211, вопросы 9–11.