Да. И это несложно доказать. Проведём радиус вписанной окружности ОК к точке касания со стороной АВ (он будет перпендикулярен стороне по свойству вписанной окружности). Теперь соединим центры правильного многоугольника (он же - центр вписанной и описанной окружностей) О с вершинами этой стороны - получим треугольник ОАВ. ОА=ОВ, так как это радиусы описанной окружности, значит, этот треугольник равнобедренный. ОК - высота равнобедренного треугольника, значит, она является его биссектрисой и медианой. Поэтому К - середина АВ.

Да. И это несложно доказать. Проведём радиус вписанной окружности ОК к точке касания со стороной АВ (он будет перпендикулярен стороне по свойству вписанной окружности). Теперь соединим центры правильного многоугольника (он же - центр вписанной и описанной окружностей) О с вершинами этой стороны - получим треугольник ОАВ. ОА=ОВ, так как это радиусы описанной окружности, значит, этот треугольник равнобедренный. ОК - высота равнобедренного треугольника, значит, она является его биссектрисой и медианой. Поэтому К - середина АВ.