Кругом с центром в точке , радиуса называется множество всех точек плоскости, расположенных от точки не более чем на расстояние .

Вот круг (рис. 1):

Рис. 1. Иллюстрация к определению понятия «круг»

Точка принадлежит кругу (находится внутри круга):

.

Точка принадлежит кругу, находится на границе круга:

.

Точка А вне круга:

.

Укажем на стандартную ошибку, из этого определения уберем слово «всех» и получим совершенно другую фигуру (рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к ошибочному определению понятия «круг»

На рис. 2 изображено множество точек, которые расположены нужным образом от точки . Точка расположена от точки на расстояние .

Таким образом, точность формулировок важна, но важна и точность понятий.

Перейдем к понятию площади круга.

Мы знаем, что такое площадь прямолинейных фигур, треугольников, многоугольников и т. д., – это результат сравнения с эталоном, например с квадратом размерами 1 см на 1 см.

Заменим круг какой-нибудь фигурой, например вписанным правильным n-угольником.

Пусть площадь круга будет равна площади n-угольника

При мы увидим, что многоугольник почти полностью заполняет весь круг, существует предел площади n-угольника. Этот предел мы и примем за площадь круга (). – площадь вписанного -угольника.

При любом фиксированном, даже очень большом весь многоугольник не занимает весь круг (рис. 3).

Рис. 3. -угольник, вписанный в круг

– это часть многоугольника.

– криволинейный треугольник, это часть круга, они не равны друг другу.

– сторона n-угольника

В пределе треугольник совмещается с криволинейным треугольником .

Подытожим наше наблюдение.

Рис. 4. Сравнение площади круга и площади многоугольника

– площадь круга.

Многоугольник стремится заполнить весь круг, его площадь возрастает, и поскольку сам многоугольник ограничен описанной окружностью, то и его площадь ограничена площадью этой окружности (рис. 5).

Рис. 5. При многоугольник не занимает весь круг