Площадь круга

Определение площади круга

Кругом с центром в точке , радиуса называется множество всех точек плоскости, расположенных от точки  не более чем на расстояние .

Вот круг (рис. 1):

Рис. 1. Иллюстрация к определению понятия «круг»

Точка  принадлежит кругу (находится внутри круга):

.

Точка принадлежит кругу, находится на границе круга:

.

Точка А вне круга:

.

Укажем на стандартную ошибку, из этого определения уберем слово «всех» и получим совершенно другую фигуру (рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к ошибочному определению понятия «круг»

На рис. 2 изображено множество точек, которые расположены нужным образом от точки . Точка  расположена от точки  на расстояние .

Таким образом, точность формулировок важна, но важна и точность понятий.

Перейдем к понятию площади круга.

Мы знаем, что такое площадь прямолинейных фигур, треугольников, многоугольников и т. д., – это результат сравнения с эталоном, например с квадратом размерами 1 см на 1 см.

Заменим круг какой-нибудь фигурой, например вписанным правильным n-угольником.

Пусть площадь круга будет равна площади n-угольника

При  мы увидим, что многоугольник почти полностью заполняет весь круг, существует предел площади n-угольника. Этот предел мы и примем за площадь круга (). – площадь вписанного -угольника.

При любом фиксированном, даже очень большом  весь многоугольник не занимает весь круг (рис. 3).

Рис. 3. -угольник, вписанный в круг

 – это часть многоугольника.

 – криволинейный треугольник, это часть круга, они не равны друг другу.

 – сторона n-угольника

В пределе треугольник  совмещается с криволинейным треугольником .

Подытожим наше наблюдение.

Рис. 4. Сравнение площади круга и площади многоугольника

 – площадь круга.

Многоугольник стремится заполнить весь круг, его площадь возрастает, и поскольку сам многоугольник ограничен описанной окружностью, то и его площадь ограничена площадью этой окружности (рис. 5).

Рис. 5. При  многоугольник не занимает весь круг

Задача 1

Дано:

Радиус круга.

Найти: площадь круга .

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Вписываем в данный круг правильный -угольник,  – его площадь.

Проводим окружность с центром в точке  и радиусом . Пусть –площадь этого круга, круг вписан в многоугольник, значит, его площадь меньше, чем площадь этого многоугольника:

В результате получаем оценку:

Треугольник , выразим катет :

Отсюда следует, что при  окружность с центром в точке  и радиусом , т. е. вписанная в многоугольник окружность, стремится к окружности с центром в точке  и радиусом .

Значит:

Вместо  пишем:

Ответ: .

Вывод

На данном уроке мы рассмотрели понятие площади круга, при помощи вписанного в круг -угольника доказали формулу для вычисления площади круга, решили типовые задачи с использованием этой формулы.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. 2mb.ru (Источник).
2. Yaklass.ru (Источник).
3. Urokimatematiki.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1. Как изменится радиус окружности, если площадь круга:
2. а) увеличить в  раз
3. б) уменьшить в  раз
4. Задание 2. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника с катетами  и .
5. Задание 3. Длина окружности цирковой арены равна  метр. Найдите диаметр и площадь арены.