Тема: Длина окружности и площадь круга
Урок: Правильный многоугольник
1. Введение
Правильный многоугольник является частным случаем произвольного многоугольника, поэтому мы вспомним определение произвольного многоугольника, его свойства, а затем перейдем к обсуждению правильных многоугольников.
Рис. 1.
На Рис. 1 представлены примеры произвольных многоугольников.
Определение. Многоугольник – это замкнутая ломаная без самопересечений. Или в более полной формулировке: многоугольник – это фигура, составленная из отрезков, так что:
1. смежные отрезки не лежат на одной прямой;
2. несмежные отрезки не имеют общих точек.
Далее вспомним определения выпуклого и невыпуклого многоугольников (Рис. 1).
Рис. 2.
Отрезки называются сторонами многоугольника, концы этих отрезков – вершинами многоугольника.
Если провести прямую (Рис. 1, слева) А1А6, то весь многоугольник лежит по одну сторону от этой прямой. Если же провести другую прямую А4А5, то она разделит многоугольник на две части, лежащие по разные стороны от этой прямой. Такой многоугольник – невыпуклый.
Теперь рассмотрим многоугольник на Рис.1, справа. Какую бы прямую, содержащую одну из его сторон, мы не построили (например, А1А2, А4А5), многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой подобной прямой. Данный многоугольник – выпуклый.
Сформулируем определение: выпуклым называется многоугольник, целиком лежащий по одну сторону от прямой, проведенной через любые две соседние вершины многоугольника.
Дадим другое определение выпуклого многоугольника.
Любой многоугольник делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Выпуклым будем называть такой многоугольник, у которого отрезок, соединяющий две произвольные точки внутренней области, сам целиком принадлежит внутренней области. На Рис. 2б показан пример такого отрезка и, соответственно, выпуклого многоугольника. На Рис. 2а, в свою очередь, показан невыпуклый многоугольник и пример отрезка М1М2, который не принадлежит целиком внутренней области многоугольника, хотя его концы принадлежат ей.
Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. На Рис. 3 приведены два примера правильных многоугольников.
Рис. 3 а: n = 3. Это уже хорошо знакомый нам правильный треугольник. У него все стороны равны (АВ = ВС = АС) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = 60°), сумма углов равна 180°.
n=4. Это не менее хорошо знакомый нам квадрат (правильный четырехугольник). Все стороны равны (АВ = ВС = CD = AD) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = ÐD = 90°), сумма внутренних углов равна 360°.
Рис. 3.
Далее попробуем ответить на вопрос: а какова сумма градусных мер всех внутренних углов многоугольника при произвольном n?
Ответ дает следующая теорема:
Сумма углов выпуклого многоугольника равна 
, где n – число сторон многоугольника.
Рис. 4.
Доказательство. Рассмотрим произвольный выпуклый многоугольник А1 … Аn (Рис. 4).
Построим диагонали многоугольника (см. Рис. 4), исходящие из одной вершины, например, А1. Получаем серию треугольников, обозначенных на рисунке ∆1, ∆2, … ∆n-2. Сумма углов каждого из этих треугольников нам известна, она равна 180°. Число треугольников, на которые можно разбить многоугольник указанным способом, равно (n – 2). Тогда искомая сумма углов есть сумма углов всех треугольников, на которые разбит многоугольник, то есть . Теорема доказана.
Для произвольного выпуклого многоугольника важную роль играет теорема о сумме внешних углов:
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.
Рис. 5.
Доказательство. Рассмотрим внешние углы β1, β2, … βn выпуклого многоугольника (Рис. 5).
Для этих углов справедливы следующие соотношения:
,
где α1, α2 , … αn – внутренние углы многоугольника. Справедливость приведенных соотношений вытекает из свойств смежных углов. Сложим приведенные равенства:
. Используя предыдущую теорему, получим 
, а раскрыв скобки, получим в правой части 360°, то есть придем к выражению, приведенному в формулировке теоремы.
Рис. 6.
Имея на вооружении сформулированные свойства правильных многоугольников и доказанные теоремы, приступим к решению задач.
Дано число сторон правильного многоугольника n. Найти угол αn.
Решение.
Согласно теореме, сумма углов многоугольника равна 180° · (n – 2). С другой стороны, поскольку многоугольник правильный, все его углы равны, а следовательно, сумма этих углов равна 
, где αn – искомый угол. Приравнивая эти два выражения, получим, что внутренний угол правильного многоугольника равен: 
.
Рис. 7.
Решим задачу на нахождение числа сторон правильного многоугольника.
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если:
а. каждый его угол αn равен 150°?
б. каждый его внешний угол βn равен 120°?
Решение.
а. Используем формулу для угла правильного многоугольника, полученную при решении предыдущей задачи. Отсюда выразим число сторон многоугольника 
; подставив в это выражение значение угла, данное в условии задачи, получим n = 12.
б. Очевидно, что у правильного многоугольника все внешние углы равны между собой, следовательно, сумма внешних углов правильного многоугольника равна 
. С другой стороны, теорема о сумме внешних углов многоугольника дает нам численное значение этой суммы, т. е. 360°. Приравнивая этому значению выражения для суммы углов и учитывая заданное в условии значение внешнего угла, получим: 
, откуда n = 3 (равносторонний треугольник).
Итак, мы познакомились с правильным многоугольником. На следующем уроке мы познакомимся с окружностью, описанной около правильного многоугольника.
Список рекомендованной литературы
1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Uztest.ru (Источник).
2. Средняя математическая интернет-школа (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 211, контрольные вопросы № 5–7. Задачи (стр. 212) № 9, 10.
