Правильный многоугольник является частным случаем произвольного многоугольника, поэтому мы вспомним определение произвольного многоугольника, его свойства, а затем перейдем к обсуждению правильных многоугольников.

Рис. 1.

На Рис. 1 представлены примеры произвольных многоугольников.

Определение. Многоугольник – это замкнутая ломаная без самопересечений. Или в более полной формулировке: многоугольник – это фигура, составленная из отрезков, так что:

1. смежные отрезки не лежат на одной прямой;

2. несмежные отрезки не имеют общих точек.

Далее вспомним определения выпуклого и невыпуклого многоугольников (Рис. 1).

Рис. 2.

Отрезки называются сторонами многоугольника, концы этих отрезков – вершинами многоугольника.

Если провести прямую (Рис. 1, слева) А₁А₆, то весь многоугольник лежит по одну сторону от этой прямой. Если же провести другую прямую А₄А₅, то она разделит многоугольник на две части, лежащие по разные стороны от этой прямой. Такой многоугольник – невыпуклый.

Теперь рассмотрим многоугольник на Рис.1, справа. Какую бы прямую, содержащую одну из его сторон, мы не построили (например, А₁А₂, А₄А₅), многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой подобной прямой. Данный многоугольник – выпуклый.

Сформулируем определение: выпуклым называется многоугольник, целиком лежащий по одну сторону от прямой, проведенной через любые две соседние вершины многоугольника.

Дадим другое определение выпуклого многоугольника.

Любой многоугольник делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Выпуклым будем называть такой многоугольник, у которого отрезок, соединяющий две произвольные точки внутренней области, сам целиком принадлежит внутренней области. На Рис. 2б показан пример такого отрезка и, соответственно, выпуклого многоугольника. На Рис. 2а, в свою очередь, показан невыпуклый многоугольник и пример отрезка М₁М₂, который не принадлежит целиком внутренней области многоугольника, хотя его концы принадлежат ей.

Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. На Рис. 3 приведены два примера правильных многоугольников.

Рис. 3 а: n = 3. Это уже хорошо знакомый нам правильный треугольник. У него все стороны равны (АВ = ВС = АС) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = 60°), сумма углов равна 180°.

n=4. Это не менее хорошо знакомый нам квадрат (правильный четырехугольник). Все стороны равны (АВ = ВС = CD = AD) и все углы равны (ÐА = ÐВ = ÐС = ÐD = 90°), сумма внутренних углов равна 360°.

Рис. 3.

Далее попробуем ответить на вопрос: а какова сумма градусных мер всех внутренних углов многоугольника при произвольном n?

Ответ дает следующая теорема:

Сумма углов выпуклого многоугольника равна , где n – число сторон многоугольника.

Рис. 4.

Доказательство. Рассмотрим произвольный выпуклый многоугольник А₁… А_n (Рис. 4).

Построим диагонали многоугольника (см. Рис. 4), исходящие из одной вершины, например, А₁. Получаем серию треугольников, обозначенных на рисунке ∆₁, ∆₂, … ∆_n_-2. Сумма углов каждого из этих треугольников нам известна, она равна 180°. Число треугольников, на которые можно разбить многоугольник указанным способом, равно (n – 2). Тогда искомая сумма углов есть сумма углов всех треугольников, на которые разбит многоугольник, то есть . Теорема доказана.

Для произвольного выпуклого многоугольника важную роль играет теорема о сумме внешних углов:

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

Рис. 5.

Доказательство. Рассмотрим внешние углы β₁, β₂, … β_n выпуклого многоугольника (Рис. 5).

Для этих углов справедливы следующие соотношения:

,

где α₁, α₂ , … α_n – внутренние углы многоугольника. Справедливость приведенных соотношений вытекает из свойств смежных углов. Сложим приведенные равенства:

. Используя предыдущую теорему, получим , а раскрыв скобки, получим в правой части 360°, то есть придем к выражению, приведенному в формулировке теоремы.

Рис. 6.

Имея на вооружении сформулированные свойства правильных многоугольников и доказанные теоремы, приступим к решению задач.

Дано число сторон правильного многоугольника n. Найти угол α_n.

Решение.

Согласно теореме, сумма углов многоугольника равна 180° · (n – 2). С другой стороны, поскольку многоугольник правильный, все его углы равны, а следовательно, сумма этих углов равна , где α_n – искомый угол. Приравнивая эти два выражения, получим, что внутренний угол правильного многоугольника равен: .

Рис. 7.

Решим задачу на нахождение числа сторон правильного многоугольника.

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если:

а. каждый его угол α_n равен 150°?

б. каждый его внешний угол β_n равен 120°?

Решение.

а. Используем формулу для угла правильного многоугольника, полученную при решении предыдущей задачи. Отсюда выразим число сторон многоугольника ; подставив в это выражение значение угла, данное в условии задачи, получим n = 12.

б. Очевидно, что у правильного многоугольника все внешние углы равны между собой, следовательно, сумма внешних углов правильного многоугольника равна . С другой стороны, теорема о сумме внешних углов многоугольника дает нам численное значение этой суммы, т. е. 360°. Приравнивая этому значению выражения для суммы углов и учитывая заданное в условии значение внешнего угла, получим: , откуда n = 3 (равносторонний треугольник).

Итак, мы познакомились с правильным многоугольником. На следующем уроке мы познакомимся с окружностью, описанной около правильного многоугольника.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Uztest.ru (Источник).

2. Средняя математическая интернет-школа (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Учебник Погорелова (см. список литературы), стр. 211, контрольные вопросы № 5–7. Задачи (стр. 212) № 9, 10.