Симметрия в повседневной жизни
Наверное, любой играл с солнечными зайчиками. Не зная законов оптики, даже маленький ребенок может научиться ими управлять и направлять их в нужную точку, поворачивая предмет, который отражает солнечный свет. Солнечные лучи симметрично отражаются, например от циферблата часов, и образуют на стене или другой поверхности световое пятно (см. рис. 1).
Рис. 1. Солнечные лучи симметрично отражаются от циферблата часов и образуют на стене световое пятно
Ключевое слово здесь – симметрично (см. рис. 2) (на уроках физики будет сформулирован один из основных законов геометрической оптики: угол падения равен углу отражения).
Рис. 2. Угол падения равен углу отражения
С симметрией мы сталкиваемся каждый раз, когда подходим к зеркалу. Наш «двойник» повторяет наши движения с небольшим отличием: мы поднимаем левую руку, он – правую и т. д.
Что можно сказать общего про описанные примеры? Оказывается, есть полезная и удобная математическая модель, позволяющая описать и выделить общие свойства поворота, симметрии и параллельного переноса, и решать различные практические задачи. О ней мы сегодня и поговорим.
Отображение плоскости на себя
Все мы понимаем, что подразумевается под движением тела: если мяч переместили с одного края стола на другой, то это движение тела. Если сжали, изменив форму, то это уже не движение тела (а движение его частей). Т. е. не любые изменения в пространстве можно назвать движением.
Перейдем к математическому описанию движения. Для этого рассмотрим более общую модель – отображение плоскости на себя.
Пусть некой точке плоскости соответствует другая точка этой же плоскости (см. рис. 3).
Рис. 3. Точке плоскости соответствует другая точка этой же плоскости
Назовем новую точку образом первой, а первую – прообразом второй. Это очень похоже на функцию (см. рис. 4). Там одному числу (аргументу) ставится в соответствие другое число – значение функции. А здесь одной точке ставится в соответствие другая точка. Такое соответствие уже называют не функцией, а отображением.
Рис. 4. Функция
Пусть теперь каждой точке плоскости соответствует какая-то точка этой же плоскости, т. е. каждая точка имеет образ. Более того, каждая точка сама является чьим-то образом, т. е. имеет прообраз (рис. 5).
Рис. 5. Каждая точка плоскости имеет образ и прообраз
Как будто бы каждая точка сдвинулась и нашла себе новое место на плоскости. И после такого перемещения точки снова выстроились в плоскость, пустот не образовалось. Такое отображение называется отображением плоскости на себя.
Можно представить себе эту ситуацию и так: есть две плоскости. Каждой точке из первой плоскости поставили в соответствие точку второй плоскости (см. рис. 6), и наоборот (см. рис. 7).
Рис. 6. Каждой точке из первой плоскости поставили в соответствие точку второй плоскости
Рис. 7. Каждой точке из второй плоскости поставили в соответствие точку первой плоскости
После этого плоскости совместили в одну. В результате получили отображение плоскости на себя.
Движение
Рассмотрим какую-нибудь фигуру, например треугольник (см. рис. 8), и обсудим, что с ним будет происходить при различных отображениях плоскости на себя.
Рис. 8. Треугольник
Если это будет произвольное отображение (см. рис. 9), где точки меняют свое местоположение случайным образом, то наш треугольник просто «разорвет» на бесконечное количество частей и раскидает по разным местам плоскости.
Рис. 9. Произвольное отображение
Движением, как мы уже сказали, имеет смысл называть такое отображение, когда наш треугольник окажется в другом месте, возможно, изменив свою ориентацию, но останется единым целым – тем же самым треугольником, что и раньше (см. рис. 10).
Рис. 10. Слева направо: произвольное отображение, сам треугольник, движение
Наверное, так и можно было бы определить движение: отображение плоскости на себя, при которой любая фигура переходит в ей равную. Но в таком определении задействованы все фигуры, что является излишним.
На самом деле, оказывается, достаточно потребовать, чтобы при отображении расстояние между двумя любыми точками не менялось. Именно так и определяют движение: движение – это отображение плоскости на себя, при котором сохраняется расстояние между любыми двумя точками (см. рис. 11).
Рис. 11. Движение
Если представить плоскость бесконечным листом бумаги, то наше требование к движению (оставлять любую часть листа целой) приводит к тому, что движение вообще должно сохранять целостность всего листа. На самом деле, не так много можно делать с листом, чтобы условие выполнялось:
- сдвинуть его вдоль плоскости в любом направлении;
- перевернуть лист (изменив его ориентацию в пространстве);
- повернуть лист.
Все эти операции и приведут нас к различным видам движений, но об этом чуть позже.
Есть ли полезные «недвижения» плоскости?
Мы выбрали движение в качестве полезного преобразования плоскости, т. к. оно сохраняет расстояние между точками или, что то же самое, переводит фигуры в равные им фигуры.
Есть ли другие преобразования, которые можно использовать как инструменты для решения задач? Безусловно, есть.
Кроме равенства фигур, мы говорили о подобии фигур, т. е. об одинаковых свойствах фигур, у которых совпадает форма, но могут различаться размеры (см. рис. 12).
Рис. 12. Подобные треугольники 
и 
Соответственно, можно рассмотреть преобразование плоскости, которое уменьшает или увеличивает все фигуры в одно и то же количество раз. Такое преобразование называется гомотетией (см. рис. 13). И его тоже можно применять для решения различных задач.
Рис. 13. Гомотетия
Теорема о движении отрезка
Докажем, что сформулированного нами определения движения в самом деле достаточно, чтобы любая фигура сохраняла свою форму и размер, т. е. переходила в равную фигуру.
Теорема 1. При движении отрезок отображается в равный ему отрезок.
Доказательство
Пусть при некотором движении концы отрезка 
отображаются в точки 
и 
(см. рис. 14).
Рис. 14. При некотором движении концы отрезка отображаются в точки и
Движение сохраняет расстояние между точками, следовательно:
Теперь нужно показать, что все точки отрезка отобразятся на отрезок 
. Возьмем на отрезке точку 
(см. рис. 15):
Рис. 15. Произвольная точка отрезка
В силу сохранения расстояний (см. рис. 16):
Рис. 16. Произвольная точка 
отрезка такая, что , ,
Но тогда:
Но это возможно только в том случае, когда точка лежит на отрезке . В противном случае выполнялось бы неравенство треугольника.
Итак, все точки отрезка отобразились на отрезок . Осталось показать, что туда не попало ничего лишнего, т. е. все точки отрезка имеют прообразы только на отрезке .
Рассмотрим точку отрезка и ее прообраз . Запускаем рассуждения в обратную сторону. Т. к.:
И в силу сохранения расстояний:
То:
Но это значит, что точка лежит на отрезке . Таким образом, на отрезок отобразились все точки отрезка и никакие другие.
Доказано.
Что будет с треугольником при движении? По только что доказанной теореме, все стороны треугольника перейдут в равные им отрезки, а значит, по третьему признаку равенства образ треугольника будет равен прообразу (см. рис. 17).
Рис. 17. Образ треугольника равен прообразу: 
Далее любой многоугольник можно разбить на треугольники, и тогда приходим к выводу, что любой многоугольник переходит при движении в равный ему (см. рис. 18). Понятно, что ничего в этом удивительного нет, ведь именно эту цель мы себе и ставили, рассматривая движение на плоскости.
Рис. 18. Любой многоугольник переходит при движении в равный ему: 
Любая произвольная связная фигура приближается сколько угодно точно многоугольниками. Это тоже позволяет доказать равенство прообраза и образа уже для произвольной фигуры (см. рис. 19).
Рис. 19. Любая произвольная связная фигура переходит при движении в равную ей:
Параллельный перенос
Теперь рассмотрим, какие бывают виды движения. Будем использовать нашу аналогию с бесконечным листом бумаги. Одно из возможных движений – передвинуть его вдоль плоскости. В этом случае все точки сдвинутся на один и тот же вектор.
Действительно, передвинем произвольный треугольник. Если соединять прообразы с их образами, то получим равные векторы перемещения. Т. к. все они параллельны друг другу, то такое перемещение называют параллельным переносом. Дадим ему формальное определение.
Пусть задан вектор 
. Параллельный перенос – это такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости 
отображается в точку таким образом, что
(см. рис. 20). Проще говоря, параллельный перенос – это такое отображение, при котором каждая точка перемещается на вектор . Чтобы задать параллельный перенос, нужно задать этот вектор .
Рис. 20. Параллельный перенос
Является ли параллельный перенос движением? В нашем представлении, конечно, да. Но докажем этот факт формально. Чтобы это сделать, нужно показать, что параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.
Теорема 2. Параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.
Доказательство
Пусть задано движение вектором . Рассмотрим произвольные точки и 
. Их образами являются точки и (см. рис. 21).
Рис. 21. Движение задано вектором , точки и – образы и
По определению параллельного переноса:
Значит, в четырехугольнике 
две противоположные стороны равны и параллельны:
Но тогда это параллелограмм (ответьте, почему). А значит, и другие две противоположные стороны равны друг другу:
Т. е. расстояние между прообразами и расстояние между образами равны.
Мы показали, что параллельный перенос сохраняет расстояние, а следовательно, является движением.
Доказано.
Задача с параллельным переносом
Рассмотрим задачу, которую можно решить с использованием параллельного переноса.
Задача. Построить общую касательную к двум непересекающимся окружностям разного радиуса.
Решение
Предположим, что мы решили задачу. Пусть 
– центр меньшей окружности радиуса 
, а 
– большей окружности радиуса 
, 
– их общая касательная (см. рис. 22).
Рис. 22. Иллюстрация к задаче
Выполним параллельный перенос на вектор 
. Тогда отрезок перейдет в отрезок 
, где 
– точка касания прямой с окружностью радиуса 
с центром в точке . Отсюда вытекает построение (см. рис. 23).
Рис. 23. Иллюстрация к задаче
Строим окружность радиуса с центром в точке (центр большей окружности). Из точки (центра меньшей окружности) проводим касательную к новой окружности (это стандартная задача на построение, которую мы разобрали еще в 
классе). Пусть – точка касания (см. рис. 24).
Рис. 24. Иллюстрация к задаче
Проведя радиус 
и продолжив его до пересечения с большей окружностью, получим точку 
. Проведя через прямую, параллельную (снова стандартная задача на построение), получим искомую касательную (см. рис. 25).
Рис. 25. Иллюстрация к задаче
Поворот
Еще один вариант движения – повернуть лист бумаги. Понятно, что одна из точек при этом окажется неподвижной (центр поворота). Это уже говорит о том, что поворот не является параллельным переносом (при параллельном переносе ни одна из точек не останется на месте). Дадим строгое определение поворота.
Выберем точку – центр поворота – и угол 
, на который будем поворачивать. Выберем теперь произвольную точку и повернем ее вокруг точки на угол . Для этого найдем ее образ такой, что 
, а угол 
(см. рис. 26).
Рис. 26. Поворот
Если для параллельного переноса нужно было задать вектор этого переноса, то, чтобы задать поворот, необходимо указать центр поворота и угол поворота .
Направление против часовой стрелки договорились считать положительным. Поэтому если речь идет о повороте на положительный угол 
, то поворачивать будем именно против часовой стрелки (см. рис. 27).
Рис. 27. Поворот против часовой стрелки: 
Если необходим поворот по часовой стрелке, скажем на 
, то нужно указать угол поворот 
(см. рис. 28).
Рис. 28. Поворот по часовой стрелке:
Покажем, что при повороте сохраняются расстояния между точками, т. е. поворот является движением.
Теорема 3. При повороте сохраняются расстояния, т. е. поворот является движением.
Доказательство
Повернем точки и вокруг точки на угол . Получим их образы и (см. рис. 29).
Рис. 29. Точки и повернули вокруг точки на угол и получили их образы и
Надо доказать, что расстояние не изменилось, т. е.:
Для этого покажем, что равны треугольники 
и 
(см. рис. 30).
Рис. 30. Рассматриваемые треугольники и
В самом деле, углы при вершине у них равны как сумма общего угла 
и угла :
По определению поворота:
Тогда треугольники и равны по первому признаку равенства. Итак, поворот является движением, т. к. сохраняет расстояние между точками.
Доказано.
Задача на поворот
Рассмотрим задачу, которую можно решить с помощью поворота.
Задача. На сторонах треугольника внешним образом построены правильные треугольники 
, 
и 
. Доказать, что 
(см. рис. 31).
Рис. 31. Иллюстрация к задаче
Доказательство
При повороте вокруг точки на точка переходит в 
, а точка 
– в 
(см. рис. 32). Поэтому отрезок 
переходит в отрезок 
.
Рис. 32. Иллюстрация к задаче
Поскольку поворот – это движение, то отрезок переходит в равный отрезок, значит:
Аналогично можно доказать, что 
и 
.
Доказано.
Осевая симметрия
Два рассмотренных движения (параллельный перенос и поворот) при их комбинировании задают практически любое движение, которое мы можем представить.
В самом деле, передвиньте книгу по столу так, как вам этого захочется. Движение книги можно разложить на два (см. рис. 33): параллельный перенос до того места, где она находится теперь, и поворот до того положения, в котором она оказалась. Можно сказать, что все движения можно описать параллельным переносом и поворотом.
Рис. 33. Разложение движения книги на два: параллельный перенос и поворот
Но с помощью такого движения мы никогда не сможем получить книгу, повернутую к нам другой стороной обложки – как бы мы ее ни переносили и ни поворачивали, ее ориентация в пространстве не изменится. И здесь нам на помощь придет симметрия, о которой мы говорили в начале урока. Вспомните: в зеркале правая рука становится левой.
Две точки 
и 
называются симметричными относительно прямой 
, если прямая проходит через середину отрезка перпендикулярно ему (см. рис. 34).
Рис. 34. Точки и , симметричные относительно прямой 
Понятно, что для любой точки всегда существует симметричная точка и причем единственная. Зададим отображение, используя это понятие.
Осевой симметрией относительно прямой называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости переходит в точку, ей симметричную относительно прямой (см. рис. 35).
Рис. 35. Осевая симметрия
Нетрудно показать, что такое отображение сохраняет расстояние.
Теорема 4. При осевой симметрии сохраняются расстояния, т. е. осевая симметрия является движением.
Доказательство
Рассмотрим случай, когда оба прообраза (точки и ) лежат с одной стороны от оси симметрии (см. рис. 36).
Рис. 36. Точки и лежат с одной стороны от оси симметрии
Построим их образы, точки и , симметричные относительно прямой (см. рис. 37).
Рис. 37. Точки и – образы точек и
Необходимо доказать:
Сделать это можно, например, так: построим два прямоугольных треугольника 
и 
(см. рис. 38).
Рис. 38. Рассматриваемые прямоугольные треугольники и
Видим ли мы, что четырехугольник 
– прямоугольник? Да, видим.
Стороны 
и 
перпендикулярны одной прямой, а значит, параллельны друг другу:
Стороны 
и 
тоже перпендикулярны одной прямой, следовательно, тоже параллельны:
Четырехугольник уже параллелограмм, и у него уже есть два прямых угла. Он прямоугольник, тогда:
Вычтем из них равные отрезки 
и 
и получим:
Тогда в двух прямоугольных треугольниках и катеты попарно равны, что является признаком равенства треугольников. Раз треугольники равны, то равны их гипотенузы , т. е. расстояния между прообразами и образами. Осевая симметрия сохраняет расстояние и является движением.
Доказано.
Существуют, конечно, и другие варианты расположения прообразов относительно оси симметрии. Вот некоторые из них (см. рис. 39). Попробуйте самостоятельно доказать сохранение расстояний в этих случаях.
Рис. 39. Некоторые варианты расположения прообразов относительно оси симметрии
Легко убедиться, что осевая симметрия не сводится к параллельному переносу и повороту – именно симметричный себе образ мы видим в зеркале. Конечно, если «выйти» из плоскости и рассмотреть движение в пространстве, то осевую симметрию можно свести к переносу и повороту – при повороте в пространстве наша книга может поменять ориентацию. Но мы рассматриваем только преобразования плоскости, и в этом случае осевая симметрия – отдельный вид движения.
Если некая осевая симметрия переводит фигуру саму в себя, то ось симметрии называют осью симметрии фигуры.
У одной фигуры может быть одна, несколько или бесконечное количество осей симметрии. Например, у равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является осью симметрии (см. рис. 40). У произвольного прямоугольника две оси симметрии. Посчитайте, сколько осей симметрии у равностороннего треугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, круга.
Рис. 40. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является осью симметрии
Задача на осевую симметрию
Задача. Представьте, что вы увидели пожар. Рядом есть речка, из которой можно набрать воды. Как нужно действовать, чтобы потушить пожар как можно скорее, пока он не успел разгореться сильнее?
Решение.
Переведем задачу на математический язык. На прямой (река) найти такую точку , чтобы сумма длин отрезков 
(расстояния до реки и от реки до пожара) была наименьшей (см. рис. 41).
Рис. 41. Иллюстрация к задаче
Эту задачу можно решать по-разному, например с использованием координат. Но одно из самых простых и эффективных решений основано на использовании осевой симметрии. Выполним осевую симметрию относительно прямой . Точка перейдет в точку , точка останется. Точка перейдет в , но это нас сейчас не будет интересовать (см. рис. 42).
Рис. 42. Иллюстрация к задаче
Т. к. осевая симметрия – движение, то отрезок 
перешел в равный отрезок 
и интересующая нас сумма (см. рис. 43):
Рис. 43. Иллюстрация к задаче
Таким образом, нам нужно найти такую точку , чтобы сумма 
была минимальной. Но, исходя из неравенства треугольника:
Причем равенство достигается в одном случае: точка лежит на отрезке 
(см. рис. 44).
Рис. 44. Иллюстрация к задаче
В этом случае рассматриваемая сумма и будет наименьшей. Получаем метод нахождения точки : точку отражаем относительно прямой в точку , соединяем с , точка пересечения и прямой – точка – и будет искомой.
Центральная симметрия
Последним движением, которое мы рассмотрим, является центральная симметрия. Центральная симметрия – это симметрия относительно выбранной точки, центра симметрии.
Зафиксируем точку – это будет центр симметрии. Выберем произвольную точку . Точка будет ее образом, если точка является серединой отрезка 
(см. рис. 45).
Рис. 45. Центральная симметрия
Доказательство того факта, что центральная симметрия является движением, т. е. сохраняет расстояния между точками, элементарно.
Теорема 5. При центральной симметрии сохраняются расстояния, т. е. центральная симметрия является движением.
Доказательство
Построим для двух прообразов и их образы и , т. е. точки, симметричные относительно центра симметрии (см. рис. 46).
Рис. 46. Точки и симметричны относительно центра симметрии точкам и
Полученные два треугольника 
и 
равны по первому признаку:
- углы
(как вертикальные); - стороны
(по определению симметрии); - стороны
(по определению симметрии).
Следовательно, отрезки:
Т. е. расстояния при центральной симметрии сохраняются.
Доказано.
Но даже такого элементарного доказательства можно было не проводить, если бы мы в этот раз задались вопросом: не сводится ли центральная симметрия к уже рассмотренным движениям?
Действительно, центральная симметрия – это поворот на 
(см. рис. 47). Т. е. центральная симметрия является частным случаем поворота, а значит, и движением.
Рис. 47. Центральная симметрия – это поворот на
Если какая-то центральная симметрия переводит фигуру саму в себя, то центр симметрии называют центром симметрии фигуры, а саму фигуру – центрально симметричной.
Очевидно, что окружность является центрально симметричной. Является ли какой-либо из известных нам многоугольников центрально симметричным? Рассмотрим правильный треугольник (см. рис. 48).
Рис. 48. Правильный треугольник
Является ли его центр (точка пересечения медиан, биссектрис, высот) центром симметрии? Конечно, нет. Ни одна вершина не переходит при симметрии в другую вершину (см. рис. 49). А сам треугольник при отображении не переходит в себя (см. рис. 50).
Рис. 49. Ни одна вершина правильного треугольника не переходит при симметрии в другую вершину
Рис. 50. Правильный треугольник не переходит в себя при отображении
Центральная симметрия параллелограмма
Легко увидеть, что квадрат является центрально симметричным. Но квадрат очень сильное требование. Может его можно ослабить и сохранить при этом симметрию?
На самом деле, произвольный параллелограмм обладает центральной симметрией. Точка пересечения диагоналей является таким центром (см. рис. 51). Понятно, что каждая вершина симметрична противоположной.
Рис. 51. Точка пересечения диагоналей произвольного параллелограмма является центром симметрии
Если же отложить на сторонах два равных отрезка 
и 
, то полученные треугольники 
и 
окажутся равными по первому признаку (см. рис. 52).
Рис. 52. Равные треугольники и
В самом деле:
- стороны
(по построению); - стороны
(как половины одной диагонали); - углы
и 
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых).
Следовательно, и – симметричные точки и параллелограмм симметричен относительно точки .
Задача на центральную симметрию
Рассмотрим задачу, которую можно решить с использованием центральной симметрии.
Задача. Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто победит при правильной игре?
Решение
Раз нам не даны размеры пятаков, площадь стола, то выигрышная стратегия должна быть общей и не зависеть от этих данных. Воспользуемся стратегией, основанной на центральной симметрии. Первый игрок может положить пятак так, чтобы его центр совпал с центром стола (см. рис. 53).
Рис. 53. Иллюстрация к задаче
А дальше на любой ход второго игрока отвечать симметрично относительно этого центра (см. рис. 54).
Рис. 54. Иллюстрация к задаче
Понятно, что при такой стратегии если второй игрок сделал ход, то его сможет сделать и первый игрок (см. рис. 55). И что игра завершится за конечное число ходов.
Рис. 55. Иллюстрация к задаче
Заключение
На практике мы рассмотрим применение движения для решения различных задач и убедимся в полезности этого инструмента. Сейчас же мы заканчиваем урок, а вам – домашнее задание. Выясните, существуют ли оси и центры симметрии у таких фигур, как отрезок, прямая, луч, угол, плоскость. Если да, то сколько?
Список литературы
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 9 класс. Учебник. –М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
- Интернет-портал mathematics.ru (Источник)
- Интернет-портал treugolniki.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Даны прямая и четырехугольник 
. Построить фигуру 
, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью . Что представляет собой фигура ?
2. Дан прямоугольник . Построить фигуру , которая получится из прямоугольника в результате параллельного переноса на вектор 
. Что представляет собой фигура ?
3. Доказать, что равносторонний треугольник отображается на себя при повороте вокруг точки на 
по часовой стрелке, где – точка пересечения его медиан.
