Два рассмотренных движения (параллельный перенос и поворот) при их комбинировании задают практически любое движение, которое мы можем представить.

В самом деле, передвиньте книгу по столу так, как вам этого захочется. Движение книги можно разложить на два (см. рис. 33): параллельный перенос до того места, где она находится теперь, и поворот до того положения, в котором она оказалась. Можно сказать, что все движения можно описать параллельным переносом и поворотом.

Рис. 33. Разложение движения книги на два: параллельный перенос и поворот

Но с помощью такого движения мы никогда не сможем получить книгу, повернутую к нам другой стороной обложки – как бы мы ее ни переносили и ни поворачивали, ее ориентация в пространстве не изменится. И здесь нам на помощь придет симметрия, о которой мы говорили в начале урока. Вспомните: в зеркале правая рука становится левой.

Две точки и называются симметричными относительно прямой , если прямая проходит через середину отрезка перпендикулярно ему (см. рис. 34).

Рис. 34. Точки и , симметричные относительно прямой

Понятно, что для любой точки всегда существует симметричная точка и причем единственная. Зададим отображение, используя это понятие.

Осевой симметрией относительно прямой называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости переходит в точку, ей симметричную относительно прямой (см. рис. 35).

Рис. 35. Осевая симметрия

Нетрудно показать, что такое отображение сохраняет расстояние.

Теорема 4. При осевой симметрии сохраняются расстояния, т. е. осевая симметрия является движением.

Доказательство

Рассмотрим случай, когда оба прообраза (точки и ) лежат с одной стороны от оси симметрии (см. рис. 36).

Рис. 36. Точки и лежат с одной стороны от оси симметрии

Построим их образы, точки и , симметричные относительно прямой (см. рис. 37).

Рис. 37. Точки и – образы точек и

Необходимо доказать:

Сделать это можно, например, так: построим два прямоугольных треугольника и (см. рис. 38).

Рис. 38. Рассматриваемые прямоугольные треугольники и

Видим ли мы, что четырехугольник – прямоугольник? Да, видим.

Стороны и перпендикулярны одной прямой, а значит, параллельны друг другу:

Стороны и тоже перпендикулярны одной прямой, следовательно, тоже параллельны:

Четырехугольник уже параллелограмм, и у него уже есть два прямых угла. Он прямоугольник, тогда:

Вычтем из них равные отрезки и и получим:

Тогда в двух прямоугольных треугольниках и катеты попарно равны, что является признаком равенства треугольников. Раз треугольники равны, то равны их гипотенузы , т. е. расстояния между прообразами и образами. Осевая симметрия сохраняет расстояние и является движением.

Доказано.

Существуют, конечно, и другие варианты расположения прообразов относительно оси симметрии. Вот некоторые из них (см. рис. 39). Попробуйте самостоятельно доказать сохранение расстояний в этих случаях.

Рис. 39. Некоторые варианты расположения прообразов относительно оси симметрии

Легко убедиться, что осевая симметрия не сводится к параллельному переносу и повороту – именно симметричный себе образ мы видим в зеркале. Конечно, если «выйти» из плоскости и рассмотреть движение в пространстве, то осевую симметрию можно свести к переносу и повороту – при повороте в пространстве наша книга может поменять ориентацию. Но мы рассматриваем только преобразования плоскости, и в этом случае осевая симметрия – отдельный вид движения.

Если некая осевая симметрия переводит фигуру саму в себя, то ось симметрии называют осью симметрии фигуры.

У одной фигуры может быть одна, несколько или бесконечное количество осей симметрии. Например, у равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является осью симметрии (см. рис. 40). У произвольного прямоугольника две оси симметрии. Посчитайте, сколько осей симметрии у равностороннего треугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, круга.

Рис. 40. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является осью симметрии

Задача на осевую симметрию

Задача. Представьте, что вы увидели пожар. Рядом есть речка, из которой можно набрать воды. Как нужно действовать, чтобы потушить пожар как можно скорее, пока он не успел разгореться сильнее?

Решение.

Переведем задачу на математический язык. На прямой (река) найти такую точку , чтобы сумма длин отрезков (расстояния до реки и от реки до пожара) была наименьшей (см. рис. 41).

Рис. 41. Иллюстрация к задаче

Эту задачу можно решать по-разному, например с использованием координат. Но одно из самых простых и эффективных решений основано на использовании осевой симметрии. Выполним осевую симметрию относительно прямой . Точка перейдет в точку , точка останется. Точка перейдет в , но это нас сейчас не будет интересовать (см. рис. 42).

Рис. 42. Иллюстрация к задаче

Т. к. осевая симметрия – движение, то отрезок перешел в равный отрезок и интересующая нас сумма (см. рис. 43):

Рис. 43. Иллюстрация к задаче

Таким образом, нам нужно найти такую точку , чтобы сумма была минимальной. Но, исходя из неравенства треугольника:

Причем равенство достигается в одном случае: точка лежит на отрезке (см. рис. 44).

Рис. 44. Иллюстрация к задаче

В этом случае рассматриваемая сумма и будет наименьшей. Получаем метод нахождения точки : точку отражаем относительно прямой в точку , соединяем с , точка пересечения и прямой – точка – и будет искомой.