Отображение плоскости на себя.

Все понятия, которые будут введены нами в этом разделе, фактически, уже изучались нами ранее, с той лишь разницей, что теперь мы введем их в общем виде.

Ось симметрии.

Осевая симметрия – это такой тип симметрии, при которой каждой точке плоскости, например в точке М (Рис. 1), по определенному закону ставится в соответствие другая точка той же плоскости.

Рис. 1.

Закон, согласно которому проводится это соответствие, таков:

Из точки М проводится перпендикуляр к прямой и получается точка Р, точка пересечения перпендикуляра с осью. Откладывался отрезок РМ₁=РМ, и находится точка М₁. Итак, любой точке М плоскости ставится в соответствие единственная точка М₁ плоскости, при этом:

1. МР^а, Р – точка их пересечения

2. РМ₁=РМ , откуда получалась точка М₁

При этом мы опирались на известный геометрический факт: из точки М можно провести лишь одну прямую перпендикулярную данной прямой.

Обратная операция: если при осевой симметрии точке М ставится в соответствие точка М₁, то точке М₁ ставится в соответствие точка М.

Точно такие же операции соответствия можно провести и для пары точек N и N₁ той же плоскости (Рис. 1), причем если нам известна точка N₁, которая поставлена в соответствие точке N, то нам известна и сама точка N. Итак, каждой точке плоскости ставится в соответствие иная точка плоскости. И любая точка плоскости имеет свою соответствующую точку.

Осевая симметрия является частным случаем так называемого отображения плоскости на себя.

Другим частным случаем отображения плоскости на саму себя является центральная симметрия.

Точка плоскости М переходит в точку плоскости другую М₁ по следующему закону (Рис. 2):

1. проводится прямая МО

2. эта прямая продолжается и на ней откладывается отрезок ОМ₁=ОМ, получаем точку М₁

М₁ ставится в соответствие точке М.

Рис. 2.

Оба представленных примера отображений обладают следующим свойством:

если взять отрезок MN длиною а, то он перейдет в отрезок M₁N₁ той же длины, т. е. расстояние между любыми точками сохраняются.

Отображение плоскости на себя, при котором все расстояния сохраняются, называется движением,

т. е. «плоскость двигается, а расстояние сохраняется». Движений таких несколько, мы пока рассмотрели два из них, а именно осевую симметрию и центральную симметрию. Теперь докажем, что каждая из этих симметрий является движением. Надо доказать, что любые расстояния сохраняются.

Докажем это для осевой симметрии.

Итак, при от отображении, М → М₁, N → N₁, причем РМ₁=РМ, NQ=QN₁ (Рис. 3)

Нам нужно доказать, что MN= M₁N₁.

Рис. 3.

Доказательство.

Составим чертеж (Рис. 4).

Сделаем дополнительные построения, построим точку К такую, что МК^ NN₁,

тогда точка К отобразится в точку К₁.

Докажем равенство прямоугольных треугольников MNК и M₁N₁К₁. В этих треугольниках длины, интересующие нас, являются гипотенузами, значит, надо доказать равенство катетов.

МК = М₁К₁ как два перпендикуляра к параллельным прямым.

Из Рис. 4 видно, что NK = NQ – KQ и N₁K₁= N₁Q – K₁Q. Из этих равенств и условия того, что точка N отобразилась в точку N₁, вытекает, что NK = N₁K₁.

То есть треугольники равны по двум катетам, а следовательно, равны и их гипотенузы, то есть MN = M₁N₁, что и требовалось доказать.

Рис. 4.

Рис. 5.

Докажем теперь, что центральная симметрия также является движением. Дополним Рис. 2 точкой N и точкой N₁, в которую отобразится первая точка при центральной симметрии (Рис. 5).

Для этого построим отрезок ON и его продолжение – отрезок ON₁, получим точку N₁. При этом ON₁= ON. Необходимо доказать, что MN = M₁N₁

Доказательство.

по двум сторонам и углу между ними (ÐMОN = ÐM₁ОN₁ как вертикальные, а соответствующие стороны треугольников равны вследствие законов центральной симметрии) .

То есть и при центральной симметрии любые расстояния сохраняются. Таким образом, и центральная симметрия является движением.

Итак, мы рассмотрели отображение плоскости на себя. Рассмотрели два примера отображения плоскости на себя: осевую симметрию и центральную симметрию. И подметили одно важное обстоятельство, что любые расстояния при этих преобразованиях сохраняются. Те преобразования плоскости на себя, которые сохраняют все расстояния, называются движениями. Мы доказали, что осевая симметрия является движением и центральная симметрия является движением.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Российский общеобразовательный портал (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 113.