Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы
Урок: Четыре замечательные точки треугольника
1. 1-я замечательная точка: точка пересечения серединных перпендикуляров
Рассмотрим отрезок AB. Проведем серединный перпендикуляр.Если точка лежит на серединном перпендикуляре, то она равноудалена от концов отрезка.
PA = PB (вытекает из равенства прямоугольных треугольников).
Обратно, если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре.
Определение: серединный перпендикуляр – это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от концов отрезка.
Рассмотрим треугольник ABC.
Проведем серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC. Они пересекутся в точке O.
Точка O равноудалена от концов отрезка AB. Т.е. OA = OB = R, также точка O равноудалена от концов отрезка AC. OA = OC = R (т.к. OA = R).
Но т.к. OB = OC, то точка O также равноудалена от концов отрезка BC, т.е. лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC.
Мы доказали теорему:
Теорема: 3 серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, и эта точка – центр описанной окружности.
2. 2-я замечательная точка: точка пересечения биссектрис
Рассмотрим угол A. Проведем биссектрису. Рассмотрим любую внутреннюю точку биссектрисы. Эта точка равноудалена от сторон угла (т.к. 
OB= OC= r, а также AB= AC.
Если мы захотим вписать в угол окружность, то ее центр должен лежать на биссектрисе.
Обратно, если точка равноудалена от сторон угла, то он лежит на биссектрисе.
Определение: биссектриса – это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла.
Рассмотрим треугольник ABC.
Проведем биссектрисы углов B и C. Они пересекутся в точке O.
Точка O равноудалена от сторон угла B => OK = OP = r.
Точка O равноудалена от сторон угла C => OK = OL = r.
Т.к. OL = ON = r, значит, точка O равноудалена от сторон угла A.
Мы доказали теорему.
Теорема: 3 биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Кроме того, стоит упомянуть о равных отрезках касательных. На рисунке ниже наглядно представлено это свойство:
3. Решение задачи
Дан треугольник, в котором известен полупериметр p и сторона a.
Найти: длину касательной AN = x.
Решение:
1. Проведем биссектрисы и получим центр вписанной окружности O.
2. Из точки O опустим перпендикуляры на стороны и получим точки касания:
ON⊥AB,
OL⊥AC,
OK⊥BC.
ð N, K, L – точки касания.
3. Отметим равные касательные x, y, z.
4. Напишем связь между сторонами треугольника и касательными.
Сложим 3 соотношения:
Ответ: 
Замечание: для прямоугольного треугольника аналогично выводится формула для радиуса вписанной окружности (в который превращается один из отрезков касательных): 
4. 3-я, 4-я замечательные точки
Высоты 
треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.
В случае, если треугольник тупоугольный, ортоцентр находится вне треугольника.
Медианы 
треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан – центр тяжести треугольника. Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Список литературы
1. Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник).
Домашнее задание
Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 674-688
