Рассмотрим угол A. Проведем биссектрису. Рассмотрим любую внутреннюю точку биссектрисы. Эта точка равноудалена от сторон угла (т.к.

OB= OC= r, а также AB= AC.

Если мы захотим вписать в угол окружность, то ее центр должен лежать на биссектрисе.

Обратно, если точка равноудалена от сторон угла, то он лежит на биссектрисе.

Определение: биссектриса – это геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от сторон угла.

Рассмотрим треугольник ABC.

Проведем биссектрисы углов B и C. Они пересекутся в точке O.

Точка O равноудалена от сторон угла B => OK = OP = r.

Точка O равноудалена от сторон угла C => OK = OL = r.

Т.к. OL = ON = r, значит, точка O равноудалена от сторон угла A.

Мы доказали теорему.

Теорема: 3 биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Кроме того, стоит упомянуть о равных отрезках касательных. На рисунке ниже наглядно представлено это свойство: