15. Метод координат

Повторение

Если мы имеем 2 неколлинеарных вектора и , то любой вектор  можно однозначно разложить по векторам и ,

Решение опорных задач

Пример 1

Рассмотрим систему координат. .

Существует точка . Требуется найти вектор . Соответственно у вектора будут такие же координаты, как у точки :

Пример 2

Найти координаты вектора и его длину.

Решение:

1) Из прошлого примера известно, что

Так как разность векторов – это и есть вектор между ними, находим координаты  

2) Нахождение длины вектора

Решение:

По теореме Пифагора

Пример 3

Дана точка и точка . Точка делит вектор пополам. Требуется найти координаты точки .

Решение:

Координаты точки вычисляется следующим образом

Вывод уравнения окружности

Задача

Дана точка с координатами , которая является центром окружности. Написать уравнение данной окружности.

Любая точка с координатами , которая лежит на этой окружности, равноудалена от центра на длину .

Уравнение окружности c центром в точке и радиусом  

Отсюда Это постоянная величина для любой точки, лежащей на окружности.

Вывод уравнения прямой

Даны точки на прямой и

Проведем серединный перпендикуляр . Таким образом уравнение прямой:

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением вектора a на b называется произведение их модулей (длин) на косинус угла между ними.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно .

Векторы коллинеарны тогда  и только тогда, когда один вектор можно получить из другого уменьшением (сжатием) его в раз.

Решение задач

Задача 1

Найдите координаты координаты центра и радиус окружности по ее уравнению.

Ответ: Координата центра , радиус равен .

Задача 2

Найдите координаты координаты центра и радиус окружности по ее уравнению.

Решение:

По методу выделения полного квадрата

Получаем

Отсюда координата центра , а радиус окружности .

Задача 3

Напишите уравнение окружности, которая проходит через точки. . Центр окружности лежит на оси .

Решение:

Проведем серединный перпендикуляр, на котором расположены точки, равноудаленные от отрезка . Но в данном случае, зная, что центр окружности лежит на оси , требуется найти точку именно на ней.

Получаем,

;

Координаты центра окружности . Найдем радиус .  

Таким образом уравнение окружности имеет вид:

Ответ:  

Список литературы

Л.Ф. Атанасян, Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса, Глава 10 .