Метод масс в геометрии

Этот видеоурок доступен по абонементу

Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Метод масс в геометрии». Урок начнем с рассмотрения примера катающихся на качелях детей. Расскажем, как данный физический факт нашел применение в геометрии, получив название «метод масс». Научимся с его помощью можно определять центр масс.

Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы

Урок: Метод масс в геометрии

1. Введение

Пусть есть качели. Обозначим их в виде отрезка АВ и будем их считать невесомыми.

Причем, в точках А и В подвешены гирьки с массами m₁ и m₂. Для определенности будем считать, что m₂>m₁.

Задача найти в этом случае ту точку, которая уравновесит данные качели.

Логично, что если эту точку поставить в середине отрезка, то m₂ перевесит:

2. Теорема

Центр масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка, что AO*m₁ = BO*m₂.
Или соответственно

Таким образом, точка O разбивает наш отрезок в отношении обратно пропорциональном тем массам, которые находятся в точках A и B.

3. Задача 1

Дана масса груза, расположенного в точке A - m₁=1, а масса груза, расположенного в точке B - m₂=2.
Найти положение центра масс.

Решение:

Из теоремы (2) следует, что центр данной системы – это такая точка О, которая разделит отрезок АВ в отношении 2 к 1, считая от вершины А.

Ответ:

4. Задача 2

Решение:

Ответ:

5. Нахождение центра масс треугольника

К примеру, дан треугольник ABC. В точках A, B и C находятся гирьки с массами соответственно m₁, m₂ и m₃.

Центр масс данной системы будет

Если дана система с несколькими точками, где на каждой из точек существует груз, то вместо любой пары точек можно рассматривать их центр масс, в котором находится суммарная масса исходных двух точек.

Таким образом: центр тяжести данной системы - это центр масс системы из двух точек O и C. Где точка O– это центр масс отрезка AB c массой m₁+m₂.

Ответ: Центр масс треугольника – это некоторая точка P на отрезке CO.

m=m₁+m₂+m₃.

6. Задача 3

Дан треугольник ABC с массами m_A, m_Bи m_C=1. Найти центр масс данного треугольника.

Решение:

Найдем центр масс для точек A и B. В данном случае это будет точка M, которая является серединой отрезка AB, потому что в точках A и B стоят одинаковые массы. В точке M масса будет равна 2.

Таким образом, центр системы – точка O, которая делит отрезок MC в отношении 2/1 от вершины C. Данную аналогию можно провести с каждой вершиной.

Ответ: В треугольнике есть единственная точка O, которая делит каждую медиану в отношении 2/1 от вершины.

7. Теорема о медианах

Отсюда следует известная теорема о медианах треугольника: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке в соотношении 2/1

8. Задача 4

Дан треугольник ABC. BM – медиана, AN делит сторону BC в отношении 1/2 от вершины B. AN пересекает BM в точке O. Найти отношение BO:OM.

Решение: Поставим массу 2 в точку B и массу 1 в точку C. В точку Aнам требуется тоже поставить массу 1.

1) Центром масс точек B и C будет точка N с массой 3. Центр масс треугольника лежит на отрезке AN.

2) Центром масс точек A иC будет точка M с массой 2. Центр масс треугольника лежит на отрезке BM.

3) Центр масс лежит на двух отрезках одновременно, следовательно, он является точкой их пересечения – точка O.

4) BO/OM = 2/2 = 1/1

Список литературы

Геометрия масс. Балк М.Б., Болтянский В.Г. (Источник).