Введение
Ранее мы рассмотрели признаки равенства произвольных треугольников, четыре замечательные точки в треугольнике.
В прямоугольном треугольнике рассмотрели правило нахождения сторон треугольника по тригонометрическим функциям угла и рассмотрели, как удачно биссектриса рассекает прямой угол треугольника.
В результате чего получили 3 соотношения:
Обобщенная теорема Пифагора
Обозначим,
.
Очевидно, что .
Разделим это равенство на S:
Мы уже показывали, что (подобие прямоугольных треугольников по острому углу
.)
Как мы знаем, все линейные элементы подобных треугольников соотносятся как коэффициент подобия, а площади подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия.
(2)
где b – гипотенуза треугольника , c – гипотенуза треугольника
– любой элемент треугольника
, t – соответственный ему элемент треугольника
(3)
Аналогично,
Подставим (3) и (5) в (1). Получим:
В это равенство подставим
Получаем
Это соотношение носит название обобщенной теоремы Пифагора.
Напоследок напомним:
t1, t2, t – это тройка соответственных элементов треугольников Δ1, Δ2 и Δ.
Пример 1, теорема Пифагора
Рассмотрим всё те же треугольники
Пусть (гипотенуза
).
Соответственные гипотенузы в треугольниках ,
Таким образом, получаем привычную нам теорему Пифагора:
Сумма квадратов катетов есть квадрат гипотенузы.
Пример 2, отношение для радиусов вписанных окружностей
Рассмотрим треугольники
Пусть (радиус вписанной окружности
).
Соответственные радиусы вписанных окружностей в треугольниках .
Получаем:
Зачастую просят найти один из этих элементов. Изящнее решить эту задачу именно с помощью обобщенной теоремы Пифагора.
Обобщение обобщенной теоремы Пифагора
Можно рассмотреть обобщение обобщенной теоремы Пифагора.
Рассмотрим тот же Опустим из вершины C прямого угла высоту. Она рассекает прямоугольный треугольник на 2 подобных. Мы можем провести в
высоту
из вершины прямого угла. Она точно так же в свою очередь разбивает
на подобные треугольники с теми же углами
и
.
Аналогично, S1 + S2 + S3 = S.
t12+t22+t32=t2
Список литературы
1. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики (стр. 215) (Источник).
Домашнее задание
Прочитать статью на стр. 215 вышеуказанного учебника.