Обобщённая теорема Пифагора

Этот видеоурок доступен по абонементу

Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Тема этого урока – «Обобщенная теорема Пифагора». Для начала повторим саму теорему, которую изучали ранее, рассмотрим обобщенный вариант теоремы Пифагора с применением тригонометрических функций. После этого вместе с преподавателем решим несколько задач, в ходе которых мы будем применять эту теорему.

Введение

Ранее мы рассмотрели признаки равенства произвольных треугольников, четыре замечательные точки в треугольнике.

В прямоугольном треугольнике рассмотрели правило нахождения сторон треугольника по тригонометрическим функциям угла и рассмотрели, как удачно биссектриса рассекает прямой угол треугольника.

В результате чего получили 3 соотношения:

Обобщенная теорема Пифагора

Обозначим, .

Очевидно, что .

Разделим это равенство на S:

Мы уже показывали, что (подобие прямоугольных треугольников по острому углу .)

Как мы знаем, все линейные элементы подобных треугольников соотносятся как коэффициент подобия, а площади подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия.

(2)

где b – гипотенуза треугольника , c – гипотенуза треугольника

– любой элемент треугольника, t – соответственный ему элемент треугольника

(3)

Аналогично,

Подставим (3) и (5) в (1). Получим:

В это равенство подставим

Получаем

Это соотношение носит название обобщенной теоремы Пифагора.

Напоследок напомним:

t₁, t₂, t – это тройка соответственных элементов треугольников Δ₁, Δ₂ и Δ.

Пример 1, теорема Пифагора

Рассмотрим всё те же треугольники

Пусть (гипотенуза ).

Соответственные гипотенузы в треугольниках ,

Таким образом, получаем привычную нам теорему Пифагора:

Сумма квадратов катетов есть квадрат гипотенузы.

Пример 2, отношение для радиусов вписанных окружностей

Рассмотрим треугольники

Пусть (радиус вписанной окружности ).

Соответственные радиусы вписанных окружностей в треугольниках .

Получаем:

Зачастую просят найти один из этих элементов. Изящнее решить эту задачу именно с помощью обобщенной теоремы Пифагора.

Обобщение обобщенной теоремы Пифагора

Можно рассмотреть обобщение обобщенной теоремы Пифагора.

Рассмотрим тот же Опустим из вершины C прямого угла высоту. Она рассекает прямоугольный треугольник на 2 подобных. Мы можем провести в высоту из вершины прямого угла. Она точно так же в свою очередь разбивает на подобные треугольники с теми же углами и .