Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы
Урок: Окружность
1. Что такое окружность?
Пример неверного ответа на вопрос, что такое окружность. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.
Если рассмотреть квадрат и его вершины, то вершины квадрата будут равноудалены от центра квадрата. Но это не есть окружность.
Определение:
Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.
Это также означает, что если точка A лежит на окружности, то расстояние OA = R, где R – радиус окружности.
Обратно, если для некоторой точки B расстояние OB = R, то точка B лежит на окружности.
2. Взаимное расположение окружности и прямой
Прямая не пересекается с окружностью |
Прямая пересекает окружность в одной точке – такая прямая называется касательной |
Прямая пересекает окружность в двух точках |
|
|
|
|
Свойство: прямая является касательной к окружности, когда радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен прямой |
Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB |
3. Точка на окружности. Теорема о вписанном угле. Следствия
Из точки на окружности можно провести либо 1 касательную, либо 2 хорды.
Рассмотрим угол, который образован точкой на окружности и двумя хордами, продолжения которых пересекают эту окружность.
Получили вписанный треугольник ABC.
называется вписанным в окружность. Ему соответствует центральный угол 
.
Эти углы опираются на дугу 
Дугу можно измерить угловым измерением, а также можно измерить длину дуги.
Угловое измерение:
=
Теорема 1:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
=
Идея доказательства:
Разобьем угол 
на 2 угла: 
и 
.
OA = OB = R
– равнобедренный.
Т.е. ∠
Внешний угол 
равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов треугольника 
т.е. 
Аналогично,
Суммируя дуги,
=
Следствие 1
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Следствие 2
Любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
∠
∠
(так как они опираются на центральный развернутый угол, который равен 180
).
4. Точка на окружности. Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.
Дано: AM – касательная, ∠MAB =
Доказать: 
=
= 2
Доказательство:
Т.к. 
равнобедренный, 
5. Задачи
Задача 636
Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ.
Дано:
Найти: ∠ACB.
Решение:
1. OA = OB = R =>
равносторонний. => ∠AOB = 60
2. Рассмотрим четырехугольник ACBO. Сумма углов в четырехугольнике равна 360.
∠ACB = 360
– (90+ 90 + 60) = 120.
Ответ: 120
Задача 635
Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
Решение:
1. OA = OB = R => равносторонний. => ∠OAB = 60
2. ∠BAM = 90– 60
Ответ:
Список литературы
1. Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник).
2. Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы, 9 класс (Источник).
Домашнее задание
Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 631-673.
Зив Б.Г., Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы, 9 класс: все задачи C26.
