Перед решением следующих задач вспомним, что для любого треугольника существуют и вписанная, и описанная окружности. Т. е. сам треугольник является и вписанным, и описанным (см. рис. 4).

Рис. 4. Вписанный и описанный треугольник

Для четырехугольников это не так. Вокруг четырехугольника можно описать окружность (т. е. он является вписанным), только если сумма его противоположных углов равна (см. рис. 5).

Рис. 5. Вписанный четырехугольник:

Четырехугольник является описанным, т. е. в него можно вписать окружность, только если у него равны суммы длин противоположных сторон (см. рис. 6).

Рис. 6. Описанный четырехугольник:

Задача 2. Основание равнобедренного треугольника равно , а боковая сторона . Найти радиус окружности , вписанной в этот треугольник.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Равнобедренный треугольник обладает хорошим набором свойств, и в этой задаче можно, пользуясь ими, получить ответ. Но есть способ прямолинейный, который позволяет решить задачу без учета вида треугольника (т. е. для любого треугольника, у которого известны длины всех трех сторон). Зная три стороны треугольника, мы можем найти его площадь, используя формулу Герона:

где – полупериметр:

С другой стороны, площадь можно найти по формуле, в которой фигурирует радиус вписанной окружности:

Как мы помним, эта формула получается очень просто, если заметить, что весь треугольник разбивается на три малых треугольника, высоты которых равны радиусу (см. рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 2

Найдя площадь каждого и сложив их, мы и получаем эту формулу. Аналогично ее можно вывести для любого описанного многоугольника.

Но вернемся к нашей задаче. Так как мы выразили площадь двумя способами, то можно приравнять выражения в этих формулах друг другу:

Выразим из этого равенства :

Посчитаем полупериметр:

Подставим в полученную формулу:

В нашем решении мы нигде не использовали то, что треугольник равнобедренный. Значит, этот метод можно использовать для решения аналогичной задачи с произвольным треугольником.

Ответ: .

Задача 3. Можно ли вокруг трапеции описать окружность (см. рис. 9)?

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Если трапеция вписана в окружность, то ее верхнее и нижнее основания и являются параллельными хордами. Мы чуть раньше уже показали, что такие хорды отсекают равные дуги на окружности. Следовательно, хорды, их стягивающие, т. е. боковые стороны трапеции, будут равны (см. рис. 10): . Т. е. трапеция является равнобедренной.

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 3

Можно подойти к этому вопросу чуть иначе – признаком вписанного четырехугольника является то, что противоположные углы в сумме равны :

– вписанный четырехугольник

Но это признак равнобедренной трапеции, значит:

Тогда:

Т. е. трапеция равнобедренная. Итак, вокруг трапеции можно описать окружность только в том случае, если она равнобедренная.

Ответ: да, если – равнобедренная трапеция.

Задача 4. Определить вид вписанного и описанного параллелограмма.

Решение

Иными словами, каким должен быть параллелограмм, чтобы вокруг него можно было описать окружность и чтобы в него можно было вписать окружность.

Если четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна (см. рис. 11):

– вписанный четырехугольник

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 4

Если это еще и параллелограмм, то эти углы равны друг другу, а значит, они по :

Таким образом, вписанный параллелограмм – это обязательно прямоугольник. Только вокруг такого параллелограмма можно описать окружность.

Если четырехугольник описанный, то суммы длин противоположных сторон равны (см. рис. 12).

– описанный четырехугольник

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 4

Если он еще и параллелограмм, то внутри этой пары стороны равны другу:

Но тогда все четыре стороны равны:

Таким образом, если параллелограмм описанный, то он обязательно ромб. Только в такой параллелограмм можно вписать окружность.

Как следствие из этих двух фактов, если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать окружность вокруг него, то он одновременно является ромбом и прямоугольником, т. е. квадратом (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 4

Ответ: квадрат.

Задача 5. Существуют ли, кроме квадрата, четырехугольники, которые одновременно являются вписанными и описанными?

Решение

Чтобы решать такого рода задачу, сначала нужно сформулировать гипотезу. У нас две противоположные гипотезы.

Все такие четырехугольники квадраты. Чтобы ее доказать, нужно из двух признаков – вписанного и описанного прямоугольника – вывести, что он квадрат. Т. е. доказать, что четырехугольник, у которого противоположные углы в сумме равны и суммы противоположных сторон равны, обязательно является квадратом.
Кроме квадрата, существуют другие четырехугольники такого типа. В этом случае нужно привести хотя бы один пример.

В такой ситуации разумно потратить время на вторую гипотезу, поискать примеры (по отношению к первой гипотезе они будут называться контрпримерами). Если они не найдутся, то перейти к первой и доказать, что только квадраты обладают таким свойством.

Равнобедренная трапеция является вписанным четырехугольником (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 5

Чтобы она была еще и описанной, нужно, чтобы сумма оснований была равна сумме боковых сторон. Попробуем изобразить такую.

Разобьем равнобедренную трапецию на прямоугольник и два равных треугольника и (см. рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 5

Чтобы числа были заведомо целые и удобные, пусть треугольники будут египетскими – со сторонами (см. рис. 16):

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 5

Итак, сумма боковых сторон равна . Сумма оснований тоже должна быть равна , уже есть:

Значит, оставшиеся отрезки должны иметь длины по :

Итак, мы получили равнобедренную трапецию, у которой сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований (cм. рис. 17). Она и вписанная, и описанная. Т. е. мы опровергли первую гипотезу и подтвердили вторую.

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 5

Рассмотрим еще один пример такого четырехугольника. Рассмотрим квадрат, вписанный в окружность, и попробуем его трансформировать, не потеряв свойств описанности и вписанности. С вписанностью все просто. Будем передвигать вершины по окружности, он останется вписанным.

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 5

Необходимо сохранить равенство сумм противоположных сторон. Сдвинем две вершины на одинаковое расстояние. Получим фигуру, которая называется дельтоид (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 5

У нее равны две пары соседних сторон:

Очевидно, что для дельтоида выполняется условие описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны:

Итак, мы построили две фигуры, вписанные и описанные одновременно, и при этом отличающиеся от квадрата (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 5

Ответ: существуют.

Задача 6. Центр описанной окружности лежит на медиане треугольника или ее продолжении (см. рис. 21). Определить тип треугольника.

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 6

Решение

Рассмотрим первый случай, когда центр окружности лежит внутри треугольника и на медиане. Проведем два радиуса к вершинам при основании (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к задаче 6

Два нижних треугольника и равны друг другу по третьему признаку (сторона общая, две стороны и являются радиусами описанной окружности, еще две стороны и являются половинами стороны ). Следовательно, смежные углы равны и являются прямыми:

То, что медиана перпендикулярна основанию (то есть является высотой) – это признак равнобедренного треугольника.

Совершенно аналогичное рассуждение можно провести для случая, когда центр окружности лежит вне треугольника и на продолжении медианы (см. рис. 23). Треугольник равнобедренный.

Рис. 23. Иллюстрация к задаче 6

Последний случай, когда центр окружности лежит на основании треугольника (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 6

Тогда для любого треугольника с таким основанием центр будет лежать на медиане. Так как любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, то треугольник является прямоугольным. Что, конечно, не мешает ему в частном случае быть тоже равнобедренным (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к задаче 6

Ответ: равнобедренный.

Задача 7. В прямоугольном треугольнике : , . Найти меньшую сторону треугольника , если радиус вписанной окружности равен (см. рис. 26).

Рис. 26. Иллюстрация к задаче 7

Решение

Решить такую задачу можно разными способами. Рассмотрим два.

1. Применим уже использованный способ: приравняем площади треугольника, вычисленные разными способами. С одной стороны, площадь прямоугольного треугольника – половина произведения его катетов:

С другой – произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:

И там, и там нам нужны длины стороны, которые нам не известны.

Обозначим . Тогда гипотенуза равна:

Можно было сослаться на известный факт: катет, лежащий напротив угла в равен половине гипотенузы. Второй катет равен:

(его также можно было выразить, используя теорему Пифагора).

Выразим полупериметр:

Приравняем площади, найденные с помощью двух разных формул:

Осталось решить полученное уравнение:

2. Так как , , то . Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла . Соединим вершину с центром. Опустим радиус на меньший катет. Они перпендикулярны (см. рис. 27).

Рис. 27. Иллюстрация к задаче 7

Получили прямоугольный треугольник с острым углом . Известен противолежащий катет . Найдем прилежащий катет:

Мы нашли одну часть искомого катета. Вторая часть равна ( – квадрат). Весь катет равен:

Наконец, для решения этой задачи можно было использовать формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

(попробуйте вывести ее самостоятельно).

Ответ: .

Задача 8. Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны и (см. рис. 28). Найти площадь трапеции.

Рис. 28. Иллюстрация к задаче 8

Решение

Треугольники и являются прямоугольными, имеют общую гипотенузу и два катета, являющихся радиусами окружности: . Значит, они равны по гипотенузе и катету.

Аналогично равны треугольники и .

Следовательно, углы трапеции и разделены на равные части ( и являются биссектрисами углов и ). При этом углы и в сумме составляют:

Тогда их половины, например углы и в сумме составляют:

Но тогда:

Так как мы знаем катеты прямоугольного треугольника , мы легко найдем его площадь. Легко видеть, что он занимает половину левой части трапеции (состоит из двух треугольников, которые равны, соответственно, двум незакрашенным треугольникам), то есть четверть всей трапеции (см. рис. 29).

Рис. 29. Иллюстрация к задаче 8

Таким образом, площадь всей трапеции в раза больше площади треугольника . Найдем площадь трапеции:

Ответ: .

Задача 9. Найти радиус окружности , описанной около треугольника со сторонами

, .

Рис. 30. Иллюстрация к задаче 9

Решение

Эту задачу также можно решить универсальным методом (по аналогии с задачей о нахождении радиуса вписанной окружности). Для этого воспользуемся формулой:

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона (мы знаем длины всех трех сторон треугольника):

Заметьте: мы опять нигде не использовали, что треугольник равнобедренный.

Ответ: .