Задача 7. Доказать существование четырех точек замечательных в треугольнике.

Доказательство

Вспомним, о чем идет речь. Проведем в треугольнике две биссектрисы. Получим точку их пересечения (см. рис. 17). Пройдет ли третья биссектриса тоже через точку ?

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 7

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить, что биссектриса – это ГМТ, равноудаленных от сторон угла. Т. е. расстояние от любой точки на биссектрисе до сторон угла одинаково. В самом деле, опустим перпендикуляры из на стороны. Получим два прямоугольных треугольника. Эти треугольники равны по гипотенузе (она общая) и острому углу (так как углы равны – определение биссектрисы) (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 7

Вернемся к биссектрисам треугольника. Точка , следовательно, она равноудалена от и . Точка , следовательно, она равноудалена от и . Значит, она равноудалена от и и . Таким образом, все три биссектрисы проходят через одну точку (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 7

Такое же утверждение верно про пересечение высот, медиан и серединных перпендикуляров. Эти точки и называются четырьмя замечательными точками треугольника. Теорему о точке пересечения биссектрис мы уже доказали. Докажем остальные.

Проведем два серединных перпендикуляра. Получим точку их пересечения (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 7

Дальше рассуждения очень похожи на случай биссектрис. Так как точка пересечения , то она равноудалена от вершин и (любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен – докажите это самостоятельно). Она же , значит, она равноудалена от вершин и . Тогда она равноудалена от вершин и , а значит, . Т. е. все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Может так произойти, что точка пересечения серединных перпендикуляров лежит вне треугольника (см. рис. 21). Но это никак не влияет на само утверждение. Все три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 7

Итак мы доказали существование двух замечательных точек треугольника. Они являются центрами описанной и вписанной окружности (см. рис. 22). Нетрудно разобраться, какая точка какой окружности соответствует.

Рис. 22. Иллюстрация к задаче 7

Проведем в треугольнике две высоты. Они пересекутся в точке (см. рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к задаче 7

Пройдет ли через точку третья высота? Сделаем дополнительное построение. Проведем через каждую вершину прямую, параллельную противолежащей стороне треугольника. Получили новый большой треугольник. Зачем он нам? Оказывается, точки являются серединами его сторон (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 7

В самом деле, посмотрим на четырехугольник . У него противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, он параллелограмм. Тогда: . Аналогично: , т. е. и – середина отрезка . Аналогично с остальными точками. Но тогда высоты треугольника являются серединными перпендикулярами треугольника . А они пересекаются в одной точке (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к задаче 7

Итак, высоты пересекаются в одной точке. Как и с серединными перпендикулярами, точка пересечения высот может оказаться как внутри, так и за пределами треугольника. В последнем случае говорят не о пересечении самих высоты, а о пересечении их продолжений (см. рис. 26).

Рис. 26. Иллюстрация к задаче 7

Осталось доказать, что медианы треугольника тоже пересекаются в одной точке. Проведем две медианы треугольника. Они пересекутся в точке (см. рис. 27).

Рис. 27. Иллюстрация к задаче 7

Через середины сторона и проведем прямые, параллельные медиане (см. рис. 28).

Рис. 28. Иллюстрация к задаче 7

Так как , то, по теореме Фалеса:

Аналогично, так как , то, по теореме Фалеса:

Таким образом:

Но тогда, по той же теореме Фалеса, три отрезка, на которые разбита медиана , тоже равны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что одна медиана отсекает от другой одну треть, если считать от основания (или две трети от вершины). Понятно, что медиана тоже разделена в таком же отношении, так как ситуация симметричная. Тогда и последняя, третья, медиана должна отсечь от треть. Но для этого ей нужно пройти через точку .

Таким образом, все медианы пересекаются в точке и делятся этой точкой в отношении (этот факт носит название теоремы Архимеда).

Доказано.