Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы
Урок: Прямоугольный треугольник. Вычислительные задачи.
1. Введение
Мы рассмотрели основные геометрические закономерности, которые действуют в прямоугольном треугольнике.
Кроме общих геометрических закономерностей, в этом уроке мы решим конкретные задачи.
2. Задача 1
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу.
Найти длины отрезков, на которые делится гипотенуза, если ее длина равна 17, а длина высоты равна 4.
Решение:
Воспользуемся одной из теорем о средних:
, где 
Кроме этого, нам известно, что 
Получаем систему:
Решение системы (по обратной теореме Виета): x, y являются корнями квадратного уравнения:
, корни для которого легко подбираются: 
Ответ: 1, 16
3. Задача 2
В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2, а высота делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 2 больше другого. Найти длину гипотенузы.
Решение:
Применим теорему о среднем для катета a:
Применим эту же теорему для второго катета:
Получаем систему:
Следовательно,
Ответ: 5,2
4. Задача 3
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 8, а радиус вписанной окружности равен 3. Найти радиус описанной окружности.
Решение:
1. Отметим центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис).
2. Опустим перпендикуляры на стороны, получим точки касания, проведем вписанную окружность.
3. Отметим равные отрезки касательных.
4. Запишем связь между касательными и сторонами.
В нашем случае: r = 3, а один из катетов равен 8. Пусть, например, a = 8. Тогда 
.
5. Применим теорему Пифагора:
6. Вспоминаем, что радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике – это половина гипотенузы.
Ответ: 8,5
5. Задача 4
В треугольнике ABC проведена медиана CM, и она равна половине противоположной стороны AB (
. Найти угол при вершине C.
Доказательство
равнобедренный =>
,
равнобедренный =>
.
Нам нужно найти
Сумма углов в треугольнике ABC равна 
, т.е. 
т.е. 
Список литературы
1. Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник).
Домашнее задание
Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: Упражнения 572-577.
