Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы
Урок: Треугольники: признаки равенства и подобия треугольников, их основные элементы и замечательные точки
1. Введение
Признаки равенства треугольников.
1 признак: если 2 стороны одного треугольника и угол между ними равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2 признак: если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3 признак: если 3 стороны одного треугольника соответственно равны 3м сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Свойство: Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов: медианы, радиусы вписанных и описанных окружностей и т.д.
Рассмотрим прямоугольный треугольник.
Для прямоугольных треугольников признак равенства звучит несколько иначе:
Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.
Заметим, что угол 90 градусов одновременно является наибольшим углом в любом прямоугольном треугольнике.
На самом деле, признак равенства прямоугольных треугольников можно сформулировать для произвольного треугольника.
4 признак:
Если 2 стороны и больший угол одного треугольника равны соответственно 2м сторонам и большему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Рассмотрим 2треугольника, 
.
Дано: 
.
-больший угол.
Доказать: , 
.
Доказательство:
Доказательство осуществим точно так же, как доказывается равенство прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе, потому как мы находимся в тех же условиях: равны 2 стороны ибольшие углы.
Т.к. 
, то 
так, что вершина A совместится с вершиной 
.
Т.к. 
то вершина В совместится в вершиной 
.
Но тогда вершины С и 
.тоже совместятся. Но как это строго доказать? Докажем от противного:
Предположим, что точка С совместится с некоторой другой точкой 
луча 
.
– равнобедренный, т.е. 
<
Получили противоречие, т.е. вершины С и тоже совместятся.
Признаки подобия треугольников
1 признак. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
2 признак. Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.
3 признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Свойства подобных треугольников:
- Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
Теоремы синусов и косинусов
Теорема косинусов
Для плоского треугольника со сторонами 
и углом , противолежащим стороне 
, справедливо соотношение:
.
Заметим, что если треугольник прямоугольный, то 
, тогда cos
=0 и теорема косинусов трансформируется в основное тригонометрическое тождество.
Теорема синусов
Для произвольного треугольника
где , 
, 
— стороны треугольника, 
— соответственно противолежащие им углы, а 
— радиус окружности,описаннойвокруг треугольника.
Основные элементы треугольников
1. Высоты(
,
)треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот называется ортоцентром треугольника.
В случае, если треугольник тупоугольный, ортоцентр находится вне треугольника.
2. Биссектрисы(
,
) треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – это центр вписанной окружности. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника.
3. Медианы(
,
) треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан – центр тяжести треугольника. Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
4. Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения серединных перпендикуляров – это центр описанной окружности.
Список литературы
1. Л.Ф. Атанасян, Геометрия 7-9 (Источник).
2. Б.Г. Зив, В.М.Мейлер, Геометрия. Дидактические материалы, 7 класс (Источник), 8 класс (Источник), 9 класс (Источник).
Домашнее задание
Л.Ф. Атанасян, Геометрия 7-9: №96 (стр. 30), №139 (стр.41), 560 (стр.140)
