01. Треугольники: признаки равенства и подобия треугольников, их основные элементы и замечательные точки
02. Прямоугольный треугольник
03. Обобщённая теорема Пифагора
04. Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде
05. Прямоугольный треугольник. Вычислительные задачи
06. Окружность
23 мин
07. Четыре замечательные точки треугольника
08. Вписанные и описанные окружности
20 мин
09. Четырёхугольники. Параллелограмм
10. Соотношения между сторонами и углами треугольника
23 мин
11. Дополнительные сведения о медиане треугольника
12. Сравнение длин
13. Точка внутри и вне окружности
14. Площади четырёхугольников
15. Метод координат
16. Метод масс в геометрии
17. Удвоение медианы
17. Удвоение медианы
Видео доступно по абонементу
Введение
Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM.
Удвоим эту медиану, т.е. проведем отрезок MD: MD=BM.
Получили параллелограмм ABCD (по признаку: диагонали делятся точкой пересечения пополам).
В ряде задач с этим параллелограммом очень удобно работать.
Теорема: если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный
Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный
Доказательство:
Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM, которая совпадает с высотой. Продлим медиану: MD=BM. Четырехугольник ABCD – параллелограмм (AM=MC, т.к. BM – медиана, BM=MD (по построению)).
С другой стороны, у него перпендикулярны диагонали. → ABCD – ромб → AB=BC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный. Чтд.
Теорема: медиана в прямоугольном треугольнике равна половине его гипотенузы
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором проведена медиана СM из вершины прямого угла. Продолжим медиану CM. Получаем четырехугольник ACBD, который является параллелограммом.
С другой стороны в этом параллелограмме угол С – прямой → ACBD – прямоугольник.
.
. Чтд.
Замечание: Обратная теорема так же верна. Доказательство: самостоятельно.
Задача 1
Дан треугольник ABC, в котором сторона AB равна 10, сторона AC=16, а медиана AM=5.
Найти площадь треугольника ABC.
Решение:
Удвоим медиану: получим точку D:.
Получили параллелограмм BACD, в котором нам известны стороны AB=CD=10, AC=BD=16.
Рассмотрим треугольник BAD. В этом треугольнике мы знаем все 3 стороны: 10, 10, 16.
Получился равнобедренный треугольник.
Проведем высоту AH=36 (по теореме Пифагора).
Заметим, что равенствоможно было доказать, исходя из других соображений, а именно:
Теорема: медиана делит треугольник на два равновеликих => рассматривая треугольник ABC и медиану AM, получаем:
В свою очередь рассматривая треугольник BAD и медиану BM, получаем:
Итог:
Если в задаче дана медиана, то очень часто полезно ее удвоить, чтобы свести задачу к параллелограмму, ромбу или прямоугольнику, с помощью чего можно решать ряд задач.
Домашнее задание
Задачи (Источник).
"