Тема: Итоговое повторение курса геометрии за 7-9 классы
Урок: Вписанные и описанные окружности
1. Определение: центр вписанной и описанной окружности
Теория вписанных окружностей базируется на свойстве биссектрисы угла, а именно на свойстве точек биссектрисы быть равноудаленными от сторон угла.
В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.
Теория описанных окружностей базируется на свойстве серединного перпендикуляра, а именно на свойстве точек серединного треугольника быть равноудаленными от концов отрезка.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
2. Теорема о соотношении для отрезков диагоналей
Четырехугольник. Вписанная и описанная окружности
Рассмотрим окружность. Пусть она описана около четырехугольника.
Рассмотрим точку M внутри окружности и проведем 2 хорды, пересекающиеся в точке M.
Получили вписанный четырехугольник ABCD.
Теорема:
AM* CM= BM* MD
Доказательство:
т.к.:
1.∠BAM опирается на дугу 
∠CDM также опирается на дугу 
По теореме о вписанном угле эти углы равны.
2.∠ABM опирается на дугу 
∠DCM также опирается на дугу 
По теореме о вписанном угле эти углы равны.
Т.к. треугольники подобны, можем выписать соотношение подобия для сходственных сторон (тех сторон, которые лежат против равных углов треугольников):
Или, что то же самое:
3. Признак описанной окружности вокруг четырехугольника
Теперь мы хотим понять, каков должен быть четырехугольник, чтобы около него можно было описать окружность.
Вспомним, что около треугольника можно всегда описать окружность, а вот с четырехугольником все сложнее: 4-я точка может лежать как внутри окружности, так и вне ее.
Признак описанной окружности вокруг четырехугольника:
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 
Доказательство необходимости:
Пусть 
. Он опирается на дугу 
Противоположный ему угол 
Он опирается на дугу 
Но 
4. Признак вписанной окружности в четырехугольник
Рассмотрим описанный четырехугольник.
Центр окружности лежит на пересечении биссектрис.
Из центра окружности можно опустить перпендикуляры на стороны, а затем отметить равные отрезки касательных:
Как можно заметить из рисунка, суммы противоположных сторон равны. Это и есть признак.
Признак вписанной в четырехугольник окружности:
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны, т.е. AB+ CD= BC+ AD.
Действительно, x+ y+ z+ u= y+ z+ x+ u.
5. Вписанная и описанная окружность в правильный n-угольник
Рассмотрим правильный n-угольник.
Дано: сторона правильного n-угольника 
Найти: r и R.
В правильном n-угольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Опустим из точки O перпендикуляр OM. Тогда:
OA= OB= R, OM= r.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OMB.
6. Подведение итогов
Список литературы
1. Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9 (Источник).
Домашнее задание
Атанасян Л.Ф. Геометрия 7-9: №№ 689-711.
