Решение задач, связанных с векторами
Задача 1. Доказать, что сумма любого набора векторов, для которых конец одного совпадает с началом следующего, равна вектору, соединяющему начало первого вектора и конец последнего:
Решение.
Для набора из двух векторов этот факт мы уже знаем – это просто правило треугольника (см. рис. 1):
Рис. 1. Правило треугольника
Получается, что мы собираемся доказать обобщение правила треугольника – и это действительно так. Утверждение, которое мы доказываем, называется правилом многоугольника. Интуитивно оно понятно: если мы движемся по маршруту: 
, то итоговое перемещение всегда будет составлять вектор 
(см. рис. 2).
Рис. 2. Правило многоугольника: 
Проведем строгое доказательство правила многоугольника. Для этого воспользуемся методом математической индукции (см. урок). Вспомним его идею: если мы умеем доказывать утверждение для какого-то начального значения параметра 
(база), а также умеем доказывать, что если утверждение верно при 
, то оно верно и при 
(индукционный переход), то мы доказали, что утверждение верно для всех натуральных значениях 
.
В нашем примере база уже доказана (для двух векторов – правило треугольника). Осталось доказать переход: если утверждение верно для набора из 
векторов, то оно будет верно и для набора из 
вектора (тогда раз верно для 
векторов, то верно и для 
векторов, раз верно для 
векторов, то верно и для 
векторов и т. д.).
Пусть для любого набора из векторов, удовлетворяющих условию, верно утверждение правила многоугольника (см. рис. 3):
Рис. 3. Правило многоугольника
Рассмотрим теперь набор из вектора, у которых конец каждого вектора совпадает с началом следующего. Выделим из него набор из первых векторов – для него верно утверждение (по нашему предположению):
Тогда интересующая нас сумма:
Но эта сумма равна 
по правилу треугольника. Значит, для набора из векторов утверждение тоже верно. Переход доказан, значит, доказано и правило многоугольника.
Доказано.
Задача 2. Сколько различных векторов задают стороны трапеции?
Решение.
Посмотрим на трапецию 
(см. рис. 4).
Рис. 4. Трапеция
Понятно, что каждая сторона задает два различных вектора, направленных в противоположные стороны (см. рис. 5). Т. е. всего набирается 
векторов.
Рис. 5. Каждая сторона трапеции задает два различных вектора, направленных в противоположные стороны
Не может ли быть среди них равных? Равные векторы должны быть равны по длине и сонаправлены:
Боковые стороны трапеции не параллельны (
по определению трапеции), следовательно, векторы, которые задаются двумя боковыми сторонами, не могут быть равны: 
, т. к. они не коллинеарны. Конечно, не параллельны и соседние стороны: 
, значит, соответствующие векторы не коллинеарны.
Векторы, которые задаются двумя основаниями, не могут быть равны по длине, т. к. основания в трапеции не равны друг другу: 
(в противном случае у трапеции две стороны были бы равны и параллельны, т. е., по признаку, трапеция должна была бы оказаться параллелограммом – противоречие):
Таким образом, стороны трапеции задают ровно неравных друг другу векторов.
Ответ: векторов.
Задача 3. Векторы 
задаются сторонами правильного пятиугольника 
(см. рис. 6). Равны ли эти векторы? Найти суммы:
Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3
Решение.
Равны ли эти векторы? Конечно, нет. У всех этих векторов равна длина (по определению правильного многоугольника):
Но среди них нет сонаправленных, все векторы различны:
Найдем сумму . Здесь все просто, по правилу многоугольника эта сумма равна вектору 
(см. рис. 7):
Рис. 7. Правило многоугольника:
Чему равна сумма ? По правилу треугольника (см. рис. 8):
Рис. 8. Правило треугольника:
Аналогично (см. рис. 9):
Рис. 9. Правило треугольника:
Найдем сумму 
.Пока мы не можем использовать ни одного из известных нам правил сложения. Надо соединить последовательно два вектора. Например, к вектору 
приставить вектор, равный 
(см. рис. 10).
Рис. 10. К вектору приставлен вектор, равный
Обозначим точку пересечения диагоналей 
и 
– точку 
(см. рис. 11).
Рис. 11. Точка – точка пересечения диагоналей и
Казалось бы, подходящий кандидат – вектор 
. Надо убедиться, что он в самом деле равен вектору , т. е. надо показать, что 
и 
.
Рассмотрим четырехугольник 
(см. рис. 12).
Рис. 12. Четырехугольник
Из того, что пятиугольник – правильный, следует, что 
и 
.
Продлим стороны 
и 
до пересечения (см. рис. 13).
Рис. 13. Продленные стороны и пересекаются в точке 
Углы 
и 
тоже будут равны друг другу (как смежные равным углам), т. е. треугольник 
равнобедренный.
Но тогда прямые 
и отсекают равные отрезки на двух сторонах углов:
(см. рис. 14), следовательно, они параллельны (обратная теорема Фалеса): 
.
Рис. 14. Прямые и отсекают равные отрезки на двух сторонах углов
Абсолютно аналогично можно доказать, что 
. Значит, 
– параллелограмм, но тогда векторы 
(по свойству параллелограмма):
Следовательно:
Ответ: нет, , 
, 
, 
.
Ответвление 1. Другой способ доказательства того, что 
Векторы задаются сторонами правильного пятиугольника . Доказать, что 
.
Доказательство.
Т. к. – правильный пятиугольник, то вокруг него можно описать окружность (в любой правильный многоугольник можно вписать и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность).
Т. к. все стороны правильного пятиугольника равны 
, то они отсекают на окружности равные дуги (по свойству равных хорд, стягивающих дуги) (рис. 15): 
, градусные меры которых равны:
Рис. 15. Равные стороны правильного пятиугольника отсекают на окружности равные дуги
Тогда вписанные углы 
равны как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги:
Из равенства углов 
следует параллельность 
(по признаку параллельных прямых: накрест лежащие углы равны), а из равенства углов 
следует параллельность 
. Тогда, по определению, – параллелограмм:
Доказано.
Решение задач, связанных с длинами векторов
Когда мы измеряем длину пройденного пути (см. рис. 16), то нам не важно, как именно это сделать: посчитать длины каждого из участков и потом их сложить: 
– или посчитать длину всего пути: 
– результат будет одним и тем же.
Рис. 16. Путь
А вот с перемещениями не так. Если вы поехали из 
в 
, а потом – из в (см. рис. 17), то итоговое перемещение будет равняться 
, а его длина 
(т. к. вы вернулись в исходную точку), а вот длина каждого из перемещений по отдельности равна 
, но 
.
Рис. 17. Перемещения 
и 
Получаем, что для длин векторов не работает привычное для нас свойство аддитивности (когда сумма измерений частей равна измерению целого): сумма длин векторов практически никогда не будет равна длине суммы этих векторов.
Задача 4. Доказать неравенство:
Рис. 18. Иллюстрация к задаче 4
Доказательство.
Это векторная форма неравенства треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон. Т. е. в случае неколлинеарных векторов 
(которые образуют треугольник) неравенство строгое:
Если же векторы коллинеарны, то треугольник не образуется (см. рис. 19).
Рис. 19. Треугольник не образуется, если векторы коллинеарны
Для противоположно направленных векторов 
неравенство тоже будет строгим:
Равенство мы получим только в случае сонаправленных векторов 
(треугольник не образуется) (см. рис. 20):
Рис. 20. Треугольник не образуется, если векторы сонаправлены
Кстати, этот факт иногда используется для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой: если модуль суммы векторов 
и равен сумме их модулей:
, то точки , и 
лежат на одной прямой, причем находится между и .
Доказано.
Итак, важно не путать модуль суммы и сумму модулей: 
и 
.
Задача 5. В прямоугольном треугольнике 
катеты 
, 
.Вычислить:
Решение.
Модули векторов – это длины соответствующих отрезков, поэтому:
Т. к. векторы не сонаправлены 
, то результат должен оказаться меньше предыдущего:
По правилу треугольника:
Гипотенуза треугольника равна 
(несложно вычислить по теореме Пифагора), тогда:
Разность длин векторов вычислить несложно:
Найдем теперь модуль разности . Разность двух векторов с общим началом – это вектор, соединяющий их концы и направленный к уменьшаемому, т. е.:
Тогда:
Этот результат можно было получить и по-другому:
Но мы знаем, что 
, поэтому:
Этот модуль мы только что уже нашли.
Ответ: 
.
Задача 6. Парашютист спускался со скоростью 
м/с. Ветром его начинает сносить в сторону со скоростью 
м/с. Какова его реальная скорость 
? Под каким углом 
к вертикали спускается парашютист?
Рис. 21. Иллюстрация к примеру 6
Решение.
Скорость – векторная величина. Т. к. парашютист имеет две скорости в различных направлениях, то результирующая (истинная скорость) находится как векторная сумма первых двух:
Найдем ее, используя правило параллелограмма (в нашем случае параллелограмм – это прямоугольник (см. рис. 22)):
Рис. 22. Прямоугольник
Значение реальной скорости – это длина вектора, т. е. диагонали прямоугольника:
Ее можно найти, используя теорему Пифагора:
м/с
Тангенс искомого угла между вертикалью и реальной скоростью равен, по определению, отношению противолежащего катета к прилежащему:
Острый угол, который соответствует такому тангенсу, равен 
.
Ответ: 
м/с, .
Решение задач, связанных с уравнениями прямой и окружности
Вторую часть урока мы посвятим решению задач, связанных с уравнениями прямой и окружности.
Вспомним, что общее уравнение прямой (см. рис. 23) имеет вид:
При этом сразу два коэффициента, 
и 
не могут одновременно равняться 
:
Рис. 23. График прямой
Общее уравнение окружности имеет вид:
,
где 
– координаты центра окружности, а 
– ее радиус (см. рис. 24).
Рис. 24. График окружности с центром в точке 
и радиусом
Задача 7. Определить, какие из данных точек 
принадлежат окружности 
и прямой 
.
Решение.
Чтобы увидеть, принадлежит ли данная точка окружности, прямой или любой другой линии, заданной уравнением, не нужно строить изображение этой линии и отмечать сами точки. Достаточно просто подставить координаты точки в уравнение линии. Сама идея уравнения линии: все точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, принадлежат линии, остальные – нет:
|
Точка |
|
|
|
|
Точка |
Точка |
|
|
Точка |
Точка |
|
|
Точка |
Точка |
|
|
Точка |
Точка |
Теперь изобразим обе линии и 
точки. Чтобы начертить прямую, нужно знать две точки, через которые она проходит. Но мы две такие точки и знаем – и .
Окружность строим с центром в точке 
и радиусом 
.
Рис. 25. На графике изображены точки с координатами , окружность, заданная уравнением 
, и прямая, заданная уравнением
Ответ: точка лежит только на прямой, точка – только на окружности, точка – точка пересечения прямой и окружности, точка 
не лежит ни на одной из двух линий.
Задача 8. Найти точки пересечения окружности 
и прямой 
с осями координат и друг с другом.
Решение.
Точка пересечения двух линий – это точка, которая принадлежит одновременно им обеим, т. е. ее координаты должны удовлетворять одновременно уравнениям обеих линий. Или, если перевести на математический язык, они должны являться решением соответствующей системы уравнений.
Найдем сначала точки пересечения прямой и окружности. Составляем систему уравнений и решаем ее.
Получаем две точки пересечения:
В принципе, при решении данной задачи можно обойтись без чертежа, но с ним проще и нагляднее (да и для самоконтроля он полезен). Поэтому построим окружность (мы знаем, что ее центр имеет координаты 
, а ее радиус равен 
) (см. рис. 26):
Рис. 26. График окружности с центром в точке с координатами и радиусом, равным
Прямую мы можем построить по двум точкам ее пересечения с окружностью, которые мы нашли: 
(см. рис. 27).
Рис. 27. График прямой, пересекающей окружность с центром в точке с координатами и радиусом, равным , в точках с координатами
Уже видно, что мы «случайно» нашли точку пересечения прямой с осью 
и одну из точек пересечения окружности с осью :
Ось 
является прямой и задается уравнением 
, ось задается уравнением 
. Чтобы найти точки пересечения данных в условии прямой и окружности с осями координат, поступим точно так же – решим соответствующие системы уравнений.
Пересекаем окружность и ось :
Получаем:
Откуда находим две точки пересечения:
Аналогично находим точки пересечения окружности и оси :
Получаем:
Откуда находим две точки пересечения:
Осталось найти координаты точек пересечения с осями прямой из условия. Используем ту же самую идею – решаем две соответствующие системы.
Система состоит из уравнения прямой и уравнения оси :
Получили уже известную нам точку:
Система состоит из уравнения прямой и уравнения оси :
Получили точку (см. рис. 28):
Рис. 28. На графике отмечены точки пересечения окружности 
и прямой с осями координат и друг с другом
Ответ: точки пересечения окружности с осями координат: 
. Точки пересечения прямой с осями координат: 
. Точки пересечения окружности и прямой: 
.
Решение геометрических задач алгебраическими методами
В последней задаче рассмотрим, как алгебраические методы (в нашем случае использование координат) помогают при решении сугубо геометрических задач.
Задача 9. Доказать, что центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина гипотенузы (см. рис. 29).
Рис. 29. Иллюстрация к задаче 9
Доказательство.
То, что центр гипотенузы является центром описанной окружности, означает, что точка (этот самый центр) находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника (см. рис. 30).
Рис. 30. Точка находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника
Докажем, что так оно и есть. Введем систему координат и расположим треугольник так, чтобы его катеты лежали на координатных осях, а вершина прямого угла совпадала с началом координат (см. рис. 31).
Рис. 31. В системе координат катеты прямоугольного треугольника лежат на координатных осях, а вершина прямого угла совпадает с началом координат
Пусть длины катетов равны и 
. Тогда мы знаем координаты всех вершин (см. рис. 32):
Рис. 32. Вершины треугольника имеют координаты 
Найдем координаты точки – середины гипотенузы. Координаты середины отрезка – это среднее арифметическое координат концов:
Тогда точка имеет координаты (см. рис. 33):
Рис. 33. Точка имеет координаты 
Вычислим длины трех отрезков 
, 
и 
, используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками:
Получаем:
Видим, что длины всех трех отрезков одинаковы, причем равны половине гипотенузы:
Значит, точка – центр описанной окружности (см. рис. 34).
Рис. 34. 
, точка – центр описанной окружности
Доказано.
Заключение
В дальнейшем мы свяжем эти два инструмента – векторы и координаты – и научимся использовать их связь для решения более сложных задач.
Список литературы
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия. 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия. 9 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-портал webmath.ru (Источник)
2. Интернет-портал kursoteka.ru (Источник)
3. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Точки 
расположены так, что 
. Доказать, что для любой точки справедливо равенство:
2. Даны точки 
. Доказать, что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.
3. Даны точки и . Найти множество всех точек 
, для каждой из которых:
