Задача 1. Доказать, что сумма любого набора векторов, для которых конец одного совпадает с началом следующего, равна вектору, соединяющему начало первого вектора и конец последнего:

Решение.

Для набора из двух векторов этот факт мы уже знаем – это просто правило треугольника (см. рис. 1):

Рис. 1. Правило треугольника

Получается, что мы собираемся доказать обобщение правила треугольника – и это действительно так. Утверждение, которое мы доказываем, называется правилом многоугольника. Интуитивно оно понятно: если мы движемся по маршруту: , то итоговое перемещение всегда будет составлять вектор (см. рис. 2).

Рис. 2. Правило многоугольника:

Проведем строгое доказательство правила многоугольника. Для этого воспользуемся методом математической индукции (см. урок). Вспомним его идею: если мы умеем доказывать утверждение для какого-то начального значения параметра (база), а также умеем доказывать, что если утверждение верно при , то оно верно и при (индукционный переход), то мы доказали, что утверждение верно для всех натуральных значениях .

В нашем примере база уже доказана (для двух векторов – правило треугольника). Осталось доказать переход: если утверждение верно для набора из векторов, то оно будет верно и для набора из вектора (тогда раз верно для векторов, то верно и для векторов, раз верно для векторов, то верно и для векторов и т. д.).

Пусть для любого набора из векторов, удовлетворяющих условию, верно утверждение правила многоугольника (см. рис. 3):

Рис. 3. Правило многоугольника

Рассмотрим теперь набор из вектора, у которых конец каждого вектора совпадает с началом следующего. Выделим из него набор из первых векторов – для него верно утверждение (по нашему предположению):

Тогда интересующая нас сумма:

Но эта сумма равна по правилу треугольника. Значит, для набора из векторов утверждение тоже верно. Переход доказан, значит, доказано и правило многоугольника.

Доказано.

Задача 2. Сколько различных векторов задают стороны трапеции?

Решение.

Посмотрим на трапецию (см. рис. 4).

Рис. 4. Трапеция

Понятно, что каждая сторона задает два различных вектора, направленных в противоположные стороны (см. рис. 5). Т. е. всего набирается векторов.

Рис. 5. Каждая сторона трапеции задает два различных вектора, направленных в противоположные стороны

Не может ли быть среди них равных? Равные векторы должны быть равны по длине и сонаправлены:

Боковые стороны трапеции не параллельны ( по определению трапеции), следовательно, векторы, которые задаются двумя боковыми сторонами, не могут быть равны: , т. к. они не коллинеарны. Конечно, не параллельны и соседние стороны: , значит, соответствующие векторы не коллинеарны.

Векторы, которые задаются двумя основаниями, не могут быть равны по длине, т. к. основания в трапеции не равны друг другу: (в противном случае у трапеции две стороны были бы равны и параллельны, т. е., по признаку, трапеция должна была бы оказаться параллелограммом – противоречие):

Таким образом, стороны трапеции задают ровно неравных друг другу векторов.

Ответ: векторов.

Задача 3. Векторы задаются сторонами правильного пятиугольника (см. рис. 6). Равны ли эти векторы? Найти суммы:

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3

Решение.

Равны ли эти векторы? Конечно, нет. У всех этих векторов равна длина (по определению правильного многоугольника):

Но среди них нет сонаправленных, все векторы различны:

Найдем сумму . Здесь все просто, по правилу многоугольника эта сумма равна вектору (см. рис. 7):

Рис. 7. Правило многоугольника:

Чему равна сумма ? По правилу треугольника (см. рис. 8):

Рис. 8. Правило треугольника:

Аналогично (см. рис. 9):

Рис. 9. Правило треугольника:

Найдем сумму .Пока мы не можем использовать ни одного из известных нам правил сложения. Надо соединить последовательно два вектора. Например, к вектору приставить вектор, равный (см. рис. 10).

Рис. 10. К вектору приставлен вектор, равный

Обозначим точку пересечения диагоналей и – точку (см. рис. 11).

Рис. 11. Точка – точка пересечения диагоналей и

Казалось бы, подходящий кандидат – вектор . Надо убедиться, что он в самом деле равен вектору , т. е. надо показать, что и .

Рассмотрим четырехугольник (см. рис. 12).

Рис. 12. Четырехугольник

Из того, что пятиугольник – правильный, следует, что и .

Продлим стороны и до пересечения (см. рис. 13).

Рис. 13. Продленные стороны и пересекаются в точке

Углы и тоже будут равны друг другу (как смежные равным углам), т. е. треугольник равнобедренный.

Но тогда прямые и отсекают равные отрезки на двух сторонах углов:

(см. рис. 14), следовательно, они параллельны (обратная теорема Фалеса): .

Рис. 14. Прямые и отсекают равные отрезки на двух сторонах углов

Абсолютно аналогично можно доказать, что . Значит, – параллелограмм, но тогда векторы (по свойству параллелограмма):

Следовательно:

Ответ: нет, , , , .

Другой способ доказательства того, что

Векторы задаются сторонами правильного пятиугольника . Доказать, что .

Доказательство.

Т. к. – правильный пятиугольник, то вокруг него можно описать окружность (в любой правильный многоугольник можно вписать и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность).

Т. к. все стороны правильного пятиугольника равны , то они отсекают на окружности равные дуги (по свойству равных хорд, стягивающих дуги) (рис. 15): , градусные меры которых равны:

Рис. 15. Равные стороны правильного пятиугольника отсекают на окружности равные дуги

Тогда вписанные углы равны как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги:

Из равенства углов следует параллельность (по признаку параллельных прямых: накрест лежащие углы равны), а из равенства углов следует параллельность . Тогда, по определению, – параллелограмм:

Доказано.