Разберем, как действует метод координат в конкретных задачах.

Задача 1.

Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рис. 3).

Доказательство:

Иллюстрация к задаче 1

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1

Нужно доказать, что

Для доказательства воспользуемся методом координат:

1. Нарисуем еще раз параллелограмм и введем удобную систему координат (см. рис. 4).

Иллюстрация к задаче 1

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

2. Найдем координаты интересующих нас точек.

Пусть длина стороны – , тогда длина стороны – тоже и координаты точки .

Пусть координаты точки .

Найдем координаты точки из равенства векторов:

Итак,

3. Найдем квадраты длин нужных нам сторон:

Проверим верно ли равенство :

Что и требовалось доказать.

Задача 2.

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна см, а основание равно см. Найти две другие медианы треугольника (см. рис. 5).

Иллюстрация к задаче 2

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Дано: , , , см, см, .

Найти: .

(Медианы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой, поэтому достаточно найти одну из них.)

Решение.

Применим метод координат:

1. Введем удобную систему координат (см. рис. 6).

(Медиана в равнобедренном треугольнике является и высотой.)

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 2

2. Найдем координаты нужных нам точек:

; ; (так как – медиана) .

Найдем координаты точки (середины ):

3. Найдем длину :

(см)

Ответ: см.