Задача 1.

Напишите уравнение окружности, проходящей через точки и , если ее центр лежит на прямой .

Решение (рис. 1):

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Запишем уравнение окружности:

Требуется определить три числа: a, b и r.

Центр окружности лежит на прямой , значит, если абсцисса центра равна a, то ордината равна .

Точки A и B лежат на окружности, значит, их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точек в уравнение и получим систему:

Правые части уравнений равны, значит, равны и левые части:

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Ответ:

Задача 2.

Написать уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что диагонали лежат на осях координат. Написать уравнение окружности, вписанной в этот ромб.

Решение (рис. 3):

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Определим координаты вершин ромба (рис. 4):

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Требуется написать уравнения прямых AB, BC, CD, AD. эти прямые наклонные, их уравнения будем искать в виде .

1. Составим уравнение прямой BC.
Из рисунка видно, что m=2.
Или составим систему, подставляя координаты точек B и C в уравнение прямой:
или

2. Составим уравнение прямой AD.
угловые коэффициенты равны, ордината пересечения с осью Oy равна
уравнение прямой или .

3. Составим уравнение прямой AB.
или

4. Составим уравнение прямой CD.
угловые коэффициенты равны, ордината пересечения с осью Oy равна
уравнение прямой или .

5. Теперь требуется написать уравнение окружности, вписанной в ромб. Для этого нужно определить координаты центра и радиус. Координаты центра известны – О(0;0). Радиус найдем как высоту прямоугольного треугольника AOB, проведенную к гипотенузе (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Уравнение окружности, вписанной в ромб

Задача 3.

1. Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, что и абсцисса точки М равна 5.

2. Напишите уравнение окружности, описанной около треугольника, образованного прямой АВ и осями координат.

3. Напишите уравнение вписанной в этот треугольник окружности.

Решение (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

1. Запишем уравнение прямой АВ в виде , подставим координаты точек А и В в уравнение и получим систему:
уравнение прямой АВ:
Точка М принадлежит прямой АВ и ее абсцисса равна 5, значит, ее ордината равна 7 (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Ответ: 7.

2. Прямая АВ пересекает оси координат в точках P и Q. Координаты этих точек легко определить, подставляя в уравнение прямой x=0 или y=0 (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Имеем прямоугольный треугольник OPQ. Требуется записать уравнение окружности, описанной около треугольника OPQ. Центр окружности лежит в середине гипотенузы:
Найдем радиус, для этого в уравнение окружности подставим координаты точки О(0;0), так как она лежит на окружности:
Уравнение окружности, описанной около треугольника:
Ответ:

3. Теперь требуется написать уравнение окружности, вписанной в , в этом треугольнике катет , катет , гипотенуза .

Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Определим координаты центра и радиус искомой окружности. Радиус можно найти по формуле:
В силу симметрии радиус окружности лежит на прямой

Рис. 10. Иллюстрация к задаче
Тогда координаты центра , тогда
уравнение окружности , где
Ответ: , где

Дополнительный вопрос.

Принадлежит ли точка вписанной окружности?

Решение:

Если точка C принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точки С в уравнение ,
где и проверим, получится ли верное равенство:

верно.

Ответ: точка С принадлежит окружности.