Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Координаты вектора, отложенного из начала координат

Напомним, что любой вектор на плоскости можно однозначно выразить через два неколлинеарных вектора  и . Это значит, что векторы  и  задают координатную плоскость, в которой будут рассматриваться все остальные векторы (см. рис. 1).

Рис. 1. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Так, найдутся такие числа , , что:

Для конкретного вектора пара чисел  единственная, она и называется координатами вектора, отметим, что они совпадают с координатами точки  – конца вектора.

Рис. 2. Координаты вектора

Из точки  проведем прямые, параллельные осям координат (см. рис. 2). По правилу треугольника имеем:

 

Координаты произвольного вектора

Дано: ; .

Найти координаты вектора .

Решение

Рис. 3. Координаты вектора

Мы можем найти координаты вектора, построенного из начала координат. Далее применим правило треугольника (см. рис. 3):

;

Тогда:

Так, искомые координаты вектора: , каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Решение примеров

Пример

Дано: ; .

Найти координаты вектора ; .

Решение

По формуле:

Напомним, что векторы  и  являются противоположными и их координаты противоположны.

 

Пример

Дано: ; ; .

Найти числа , .

Решение

По формуле:

 

Пример

Дано: параллелограмм ; ; ; .

Найти координаты вершины  параллелограмма (см. рис. 4).

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Построим заданные точки в системе координат, построим параллелограмм. Чтобы найти координаты точки  воспользуемся равенством векторов .

Найдем координаты векторов:

;

Из равенства векторов следует равенство их координат:

Вывод

Итак, мы научились находить координаты вектора по координатам его начала и конца.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Onlinemschool.com (Источник).
2. Mathprofi.ru (Источник).
3. Make-me-smart.com (Источник).

 

Домашнее задание

• Найти координаты вектора :

1. , ;
2. , ;
3. , .

• Найти числа , :

1. , , ;
2. , , .

• Найти координаты недостающей вершины параллелограмма:

; ;