Мы поговорили о сложении и вычитании векторов. Если продолжать аналогию с числами, то следующий шаг – введение операции умножения. Вспомним, что умножение – это краткая запись сложения одинаковых элементов: .

Если тело совершило раза одно и то же перемещение, равное , то можно сказать, что оно переместилось в том же направлении на расстояние, равное .

Другой пример: если говорят, что машина увеличила скорость в раза, то обычно это означает, что направление не изменилось, а увеличилось численное значение скорости в раза. Описанные операции называются умножением вектора на число.

Сложим вектор с самим собой раза: – получаем вектор, длина которого в раза больше, а направление совпадает с . Новый вектор мы так и обозначили: . Это хорошо согласуется с понятием умножения как многократного сложения одинаковых элементов. В самом деле, если вектор сложить с самим собой раза, то как раз получится такой вектор (см. рис. 29).

Рис. 29. Сложение вектора с самим собой раза

Если умножить вектор на , то его длина увеличится в раза, а направление снова останется прежним (см. рис. 30).

Рис. 30. Умножение вектора на

Умножение вектора на число ноль дает нам вектор нулевой длины. Назовем его нулевым вектором:

Нулевой вектор – это вектор нулевой длины. Начало и конец этого вектора совпадают. Направление у него не определено.

Давайте теперь подумаем, что может означать умножение на отрицательное число.

Возьмем для примера умножение на . Вспомним умножение чисел. Если умножить любое число на , получим противоположное ему число: , т. е. число, которое в сумме с данным дает ноль: .

Используем это определение и для векторов: для вектора назовем противоположным такой вектор , чтобы они в сумме давали ноль-вектор:

Вернемся к примеру с перемещением. Ноль-вектор – это перемещение, начало и конец которого – одна и та же точка . Пусть мы переместились из точки в точку . Каким должно быть перемещение, чтобы в итоге мы снова оказались в точке ? Понятно, что это перемещение из точки в точку . Получаем, что: . Нетрудно увидеть, что это у противоположного вектора должна быть такая же длина, но противоположное направление.

Тогда, по аналогии с числами, умножение вектора на число дает противоположный вектор:

Тогда при умножении вектора на произвольное отрицательное число будем получать вектор, противоположно направленный, длина которого – это длина первого вектора, умноженная на модуль этого числа (см. рис. 31).

Рис. 31. Умножение вектора на

Например, при умножении вектора на получим противоположно направленный вектор в раза длиннее, а при умножении на тоже противоположно направленный, но в раза короче:

Заметим, что векторы и всегда коллинеарны:

если , то сонаправлены;
если , то противоположно направлены

Оказывается, верно и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то существует такое число , что:

Действительно, если векторы и сонаправлены, то в качестве , если противоположно направлены, то (в силу определения умножения вектора на число).

Заключение

Мы рассмотрели умножение вектора на число. А можно ли умножать векторы между собой? Оказывается, можно, причем разными способами. Но подробнее об этом мы поговорим на следующих уроках.

Список литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия. 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия. 9 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «onlinemschool.com» (Источник)
Интернет-портал «math24.ru» (Источник)
Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)

Домашнее задание

Стороны правильного треугольника равны . Найти длину вектора .
Две стороны прямоугольника равны и . Найти длину суммы .
Найти длину вектора: