Векторы

Определение вектора

Жизнь бесконечна, но для того, чтобы решать конкретные практические задачи, мы пытаемся приблизить реальность моделью с интересующей нас степенью точности. Описывать человека можно очень долго, но если нужно сшить костюм, то описание сузится до набора чисел – рост, длина рукавов, обхват груди и т. д. Похожая ситуация и с погодой – про нее можно рассказывать с любой степенью подробности. Но в прогнозе погоды обычно ограничиваются несколькими важными параметрами: температура воздуха, скорость ветра, атмосферное давление и т. д.

В рассмотренных примерах для описания объектов выбранной модели мы должны измерить характеристики этих объектов (например, рост человека или температуру воздуха). В некоторых случаях достаточно измерить одну величину. Так, покупая на рынке яблоки, мы их только взвешиваем. Нас не интересует диаметр яблок или их температура.

Но в примерах с костюмом или погодой измерением одной величины не обойтись. Т. е. один объект может описываться набором значений нескольких характеристик (двух, трех и т. д.). Такая ситуация нам уже встречалась и в математике: треугольник мы однозначно определяли длинами трех сторон или длинами двух сторон и угла между ними.

Ваш друг рассказал, что выехал из Москвы и проехал 170 км. Где он может находиться? Понятно, что его путь составил 170 км. Но куда он переместился? Он мог оказаться около Твери, Калуги, Тулы, Рязани, Владимира и т. д. Если бы речь шла об идеальной ситуации – движении в чистом поле, то он мог бы оказаться в любой точке окружности с центром в Москве и радиусом 170 км (см. рис. 1). Конкретное местоположение зависит от выбранного направления.

Рис. 1. Окружность с центром в Москве и радиусом 170 км

Перемещение на юг приведет нас в Тулу, а на северо-запад – в Тверь. Соединим Москву с Тулой отрезком и отметим стрелкой направление (см. рис. 2). Такой направленный отрезок называется перемещением (вспомните уроки физики: это направленный отрезок, соединяющий начало и конец движения).

Рис. 2. Перемещение Москва – Тула

Теперь Москву с Тверью тоже соединим направленным отрезком (см. рис. 3). Это другое перемещение. Длины этих перемещений равны. Но направления у них были разные. Поэтому сами перемещения тоже являются разными.

Рис. 3. Перемещения Москва – Тула и Москва – Тверь одинаковы по длине, но имеют разные направления

Понятно, что если одинаковыми будут только направления, но длины перемещений окажутся разными, то и сами перемещения тоже окажутся разными. Посмотрите на перемещения Москва – Владимир и Москва – Нижний Новгород. У них практически одинаковые направления, но у второго в два раза больше длина.

Рис. 4. Перемещения Москва – Владимир и Москва – Нижний Новгород имеют практически одинаковые направления, но разные длины

Рассмотрим два последовательных перемещения: Москва – Владимир и Владимир – Рязань. Откуда и куда мы в итоге переместились? Из Москвы в Рязань. Два последовательных перемещения дают нам новое (см. рис. 5). И, как видим, длина итогового перемещения здесь не равна сумме длин исходных.

Рис. 5. Два последовательных перемещения Москва – Владимир и Владимир – Рязань дают новое – Москва – Рязань

Т. е. для итогового перемещения не важна траектория, по которой мы двигались. Важны начальная и конечная точки. Например, последовательные перемещения Москва – Владимир – Калуга – Рязань – Тула эквивалентны простому перемещению Москва – Тула (см. рис. 6).

Рис. 6. Перемещение Москва – Владимир – Калуга – Рязань – Тула эквивалентно перемещению Москва – Тула

Рассмотрим еще один пример. Два человека несут сумку. Каждый из них прикладывает определенную силу к ручкам сумки. Результат их взаимодействия будет зависеть как от величины сил, так и от их направления (см. рис. 7).

Рис. 7. Результат взаимодействия людей, которые несут сумку, зависит и от величины сил, и от их направления

Силу, как и перемещение, удобно изображать направленным отрезком: чем длиннее отрезок, тем больше численное значение силы; направление действия силы совпадает с направлением отрезка.

И таких величин, которые можно описать, используя числовое значение и направление, достаточно много. Кроме перемещения и силы, таким образом можно описывать, например, скорость  и ускорение тела .

Ну а раз есть целый класс подобных объектов, то для их описания был придуман удобный инструмент, который назвали вектором. Величины, которые описываются с помощью векторов, как вы уже слышали на уроках физики, называются векторными величинами.

Сформулируем строгое определение: вектор – это направленный отрезок, т. е. отрезок, для которого указаны начало и конец (задано направление).

Изображается в виде отрезка со стрелкой на конце. Обозначается либо большими буквами со стрелкой наверху: , либо одной маленькой тоже со стрелкой наверху:  (см. рис. 8).

Рис. 8. Обозначения вектора

Часто вектор изображают без буквенных обозначений (см. рис. 9):

Рис. 9. Вектор без буквенных обозначений

Мы ввели вектор как инструмент для описания перемещения, силы, скорости и т. д. Но для решения различных задач нужно отработать технику работы с векторами. Мы уже сталкивались с такой ситуацией – ввели натуральные числа как удобный инструмент описания количества, а затем начали изучать технику работы с числами – сложение, умножение и т. д.

Равные векторы

Что можно делать с векторами? Мы уже рассмотрели несколько примеров задач, в которых необходимо сложить перемещения или силы, следовательно, нужно научиться складывать векторы. В дальнейшем мы поговорим и о других операциях, которые можно делать с векторами, а также о различных свойствах векторов, т. е. мы переходим непосредственно к технике работы с векторами.

Итак, пусть дан вектор  (см. рис. 10):

Рис. 10. Вектор

Длину отрезка  назовем модулем вектора или просто длиной вектора. Обозначение такое же, как для модуля числа . Модуль вектора соответствует численному значению физической величины: длине перемещения (расстоянию между начальной и конечной точками), величине силы и т. д.

Модуль вектора можно найти так же, как и длину отрезка, если задан масштаб (см. рис. 11). Например, ,  (выбираем в качестве единицы измерения длины  клетку). Модуль вектора  можем найти, используя теорему Пифагора, как гипотенузу соответствующего прямоугольного треугольника: .

Рис. 11. Длину вектора можно найти, если задан масштаб

Как сравнивать длины векторов понятно – в этом смысле задача сравнения сводится к задаче сравнения длин соответствующих отрезков, которую мы уже умеем решать. А как сравнивать (и можно ли вообще это делать) направления разных векторов?

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (см. рис. 12). Векторы , ,  коллинеарны друг другу. Вектор  не коллинеарен ни одному другому. Если совсем просто, то коллинеарность – это параллельность векторов.

Рис. 12. Коллинеарные векторы , ,

Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены, как  и , или противоположно направлены, как  и  или  и . Обозначаются двумя стрелками в одну или разные стороны соответственно: , , .

Поскольку векторы определяются двумя характеристиками – модулем и направлением, то они будут равны, если у них совпадают оба эти параметра. Т. е. равными будут векторы, у которых равны длины и которые являются сонаправленными.

Прежде чем формулировать строгое определение, посмотрим, согласуется ли это определение с логикой и жизненным опытом. Рассмотрим в качестве примера перемещение.

Нарисуем на листе бумаги два одинаковых вектора (см. рис. 13):

Рис. 13. Одинаковые векторы  и

Накроем лист бумаги стеклом и посадим муху над точкой . Пусть муха переползет в точку  (см. рис. 14). Вектор перемещения .

Рис. 14. Вектор перемещения

Вернем муху назад и сдвинем под стеклом лист так, чтобы муха оказалась над точкой , а затем повторила свой предыдущий путь. В результате она окажется в точке  (см. рис. 15). Вектор перемещения .

Рис. 15. Вектор перемещения

Но ведь муха совершала одно и то же перемещение по стеклу. Она могла даже не видеть листа бумаги под стеклом. Конечно, разумно считать два рассмотренных перемещения одинаковыми, равными.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны (равенство векторов записывается как ):

Обратите внимание, что отдельно равенство модулей векторов или их сонаправленность не дают нам оснований говорить о равенстве векторов.

Действительно, в примере с другом, который отъехал от Москвы на 170 км, мы говорили о разных векторах одинаковой длины. Понятно, что перемещения, которые из одной и той же точки приводят нас в совершенно разные места, нельзя считать одинаковыми.

Аналогично в ситуации с сонаправленными векторами – можно выехать в одном направлении, но проехать 10 км, а можно – 100 км. Понятно, что перемещения, а значит, и векторы в этих случаях будут разными.

Правило треугольника

Мы определили равные векторы, т. е. ввели классы эквивалентности. Теперь можно поговорить об операциях, которые можно выполнять с векторами. Мы уже говорили, что несколько последовательных перемещений – это сложение перемещений, одновременное приложение к одному телу нескольких сил – это сложение сил. Если вы идете по движущемуся эскалатору, то ваша скорость относительно Земли – это сложение вашей скорости относительно эскалатора и скорости эскалатора относительно Земли.

Понятно, что для решения задач необходимо ввести операцию сложения для векторов. Перемещение естественным образом подсказывает нам, как складывать векторы.

Пусть мы переместились из точки  в точку . Вектор перемещения . Далее мы переместились из точки  в точку . Вектор перемещения . Итоговое перемещение  складывается из двух первых перемещений (см. рис. 16). Тогда: .

Рис. 16. Перемещение  складывается из перемещений  и

Такое правило сложения двух векторов называют правилом треугольника. Оно непосредственно следует из того, что два последовательных перемещения эквивалентны перемещению из начальной точки в конечную.

Обратите внимание, что если точка  не принадлежит отрезку , то сумма длин векторов всегда больше длине вектора суммы (неравенство треугольника). И только если точка  принадлежит отрезку , то сумма длин векторов равна длине суммы. Можно сформулировать это так:

Можем ли мы применять правило треугольника для сложения двух произвольных векторов? Конечно. Рассмотрим векторы  и  (см. рис. 17):

Рис. 17. Рассматриваемые векторы  и

Построим четырехугольник  так, чтобы вектор  был равен вектору  (см. рис. 18). Полученный четырехугольник является параллелограммом, т. к. , .

Рис. 18. Параллелограмм

Т. к. векторы  равны, то  (по правилу треугольника) (см. рис. 19).

Рис. 19. Сумма векторов  и  равна вектору

Операцию, которую мы выполнили с вектором , чтобы получить равный ему вектор , называют параллельным переносом (см. рис. 20). Подробнее о ней мы поговорим чуть позже.

Рис. 20. Параллельный перенос

Частным, более простым случаем является сложение коллинеарных векторов. Если векторы сонаправлены, то, совместив параллельным переносом конец одного и начало другого, мы получим новый вектор, направленный в ту же сторону, что и слагаемые, и длина которого равна сумме длин слагаемых (см. рис. 21).

Рис. 21. Сложение сонаправленных коллинеарных векторов

Если векторы разнонаправленны, то после совмещения конца одного и начала другого мы получим короткий вектор суммы, который направлен в ту сторону, куда был направлен более длинный вектор, и длина суммы будет равна разности длин исходных векторов (см. рис. 22). Эта ситуация очень напоминает сумму двух чисел одного знака в первом случае и сумму двух чисел с разными знаками во втором случае.

Рис. 22. Сложение разнонаправленных коллинеарных векторов

Правило параллелограмма

Пример со сложением сил будет отличаться от сложений перемещений. Все дело в том, что перемещения могут быть последовательными. А о сумме сил мы говорим в тех случаях, когда две силы приложены к одному телу одновременно.

Если на горизонтальной поверхности человек тянет сани, то они движутся в ту же самую сторону, куда направлен вектор силы тяги. Если два человека тянут сани чуть в разных направлениях, то сани движутся по направлению между этими двумя этими векторами (см. рис. 23). Мы это интуитивно хорошо понимаем, когда выполняем вдвоем подобного рода работу (ранее рассматривали пример с сумкой, которую несут двое).

Рис. 23. Если два человека тянут сани в разных направлениях, то сани движутся по направлению между этими двумя этими векторами

Задача сложения сил сводится к задаче сложения векторов, которые имеют общее начало. Рассмотрим сумму векторов . Построим вектор , равный вектору  (см. рис. 24).

Рис. 24. Векторы  и  имеют общее начало, векторы

Мы уже знаем, что по правилу треугольника:

Но что такое вектор ? Рассмотрим четырехугольник  (см. рис. 25).

Рис. 25. Рассматриваемый четырехугольник

В нем ,  (в силу равенства векторов ). Значит, по признаку параллелограмма,  – параллелограмм.

Т. е. суммой векторов с общим началом будет вектор диагонали параллелограмма, построенного на этих двух векторах, имеющий то же начало (см. рис. 26). Это правило называется правилом параллелограмма.

Рис. 26. Правило параллелограмма

Так как же складывать два вектора, по правилу треугольника или параллелограмма? Мы получили правило параллелограмма через правило треугольника. Т. е. оба правила верны. Какое из правил применять, зависит от ситуации – если нам нужно сложить векторы, у которых конец одного совпадает с началом другого, то удобнее пользоваться правилом треугольника. Если же мы складываем векторы с одинаковым началом, то – правилом параллелограмма. В остальных случаях можно выбрать любое из двух правил, которое покажется более удобным.

Вычитание векторов

Для чисел после операции сложения мы естественным образом ввели обратную операцию – вычитание. По аналогии поступим и с векторами.

Т. к. , то естественно считать, что . Теперь можно сформулировать алгоритм вычитания векторов.

Пусть нужно из вектора  вычесть вектор . Совместим их начала. Соединим концы векторов и направим к уменьшаемому, т. е. к вектору . Полученный вектор и есть разность двух векторов (см. рис. 27).

Рис. 27. Разность векторов  и

Изобразим операцию сложения и вычитания векторов на одной картинке. Пусть два вектора  и  имеют общее начало. Достроим рисунок до параллелограмма.

Тогда одна диагональ является суммой векторов , а вторая – разностью (см. рис. 28).

Рис. 28. Сумма и разность векторов  и

Иногда при решении задач забывают, в какую сторону направить вектор разности. Здесь есть очень простой совет: проверьте себя сложением. Если , значит, все в порядке.

Умножение вектора на число

Мы поговорили о сложении и вычитании векторов. Если продолжать аналогию с числами, то следующий шаг – введение операции умножения. Вспомним, что умножение – это краткая запись сложения одинаковых элементов: .

Если тело совершило  раза одно и то же перемещение, равное , то можно сказать, что оно переместилось в том же направлении на расстояние, равное .

Другой пример: если говорят, что машина увеличила скорость в  раза, то обычно это означает, что направление не изменилось, а увеличилось численное значение скорости в  раза. Описанные операции называются умножением вектора на число.

Сложим вектор  с самим собой  раза:  – получаем вектор, длина которого в  раза больше, а направление совпадает с . Новый вектор мы так и обозначили: . Это хорошо согласуется с понятием умножения как многократного сложения одинаковых элементов. В самом деле, если вектор  сложить с самим собой  раза, то как раз получится такой вектор  (см. рис. 29).

Рис. 29. Сложение вектора  с самим собой  раза

Если умножить вектор  на , то его длина увеличится в  раза, а направление снова останется прежним (см. рис. 30).

Рис. 30. Умножение вектора  на

Умножение вектора  на число ноль дает нам вектор нулевой длины. Назовем его нулевым вектором:

Нулевой вектор – это вектор нулевой длины. Начало и конец этого вектора совпадают. Направление у него не определено.

Давайте теперь подумаем, что может означать умножение на отрицательное число.

Возьмем для примера умножение на . Вспомним умножение чисел. Если умножить любое число на , получим противоположное ему число: , т. е. число, которое в сумме с данным дает ноль: .

Используем это определение и для векторов: для вектора  назовем противоположным такой вектор , чтобы они в сумме давали ноль-вектор:

Вернемся к примеру с перемещением. Ноль-вектор – это перемещение, начало и конец которого – одна и та же точка . Пусть мы переместились из точки  в точку . Каким должно быть перемещение, чтобы в итоге мы снова оказались в точке ? Понятно, что это перемещение из точки  в точку . Получаем, что: . Нетрудно увидеть, что это у противоположного вектора должна быть такая же длина, но противоположное направление.

Тогда, по аналогии с числами, умножение вектора  на число  дает противоположный вектор:

Тогда при умножении вектора на произвольное отрицательное число будем получать вектор, противоположно направленный, длина которого – это длина первого вектора, умноженная на модуль этого числа (см. рис. 31).

Рис. 31. Умножение вектора  на

Например, при умножении вектора  на  получим противоположно направленный вектор в  раза длиннее, а при умножении на  тоже противоположно направленный, но в  раза короче:

Заметим, что векторы  и  всегда коллинеарны:

1. если , то сонаправлены;
2. если , то противоположно направлены

Оказывается, верно и обратное утверждение: если векторы  и  коллинеарны, то существует такое число , что:

Действительно, если векторы  и  сонаправлены, то в качестве , если противоположно направлены, то   (в силу определения умножения вектора на число).

Заключение

Мы рассмотрели умножение вектора на число. А можно ли умножать векторы между собой? Оказывается, можно, причем разными способами. Но подробнее об этом мы поговорим на следующих уроках.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия. 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия. 9 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «onlinemschool.com» (Источник)
2. Интернет-портал «math24.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Стороны правильного треугольника  равны . Найти длину вектора .
2. Две стороны прямоугольника  равны  и . Найти длину суммы .
3. Найти длину вектора: