Предмет стереометрии
До сих пор мы подробно изучали геометрические фигуры на плоскости. Действительно, несмотря на трехмерность окружающего нас мира, часто мы воспринимаем его двумерным, плоским.
Например, используя навигатор, мы представляем себе плоскую модель города. Укладывая паркет на пол, мастер тоже решает двумерную задачу. Такие задачи возникают довольно часто, поэтому мы уделили им много внимания.
Но не любую задачу можно свести к плоской модели. Например: сколько воды помещается в стакан. Здесь необходимо вычислять объем. Но до этого мы говорили только о двух измерениях – длине и ширине. И, как следствие, о площади – как о характеристике места на плоскости, которое занимает фигура.
Чтобы ввести понятие объема, нужно добавить третье измерение – высоту. Действительно, чтобы задать положение объекта на прямой, достаточно одной координаты, на плоскости (например, на карте) – уже двух. А вот в пространстве понадобится три координаты (см. рис. 1).
Рис. 1. Сверху вниз: задание положения объекта на прямой, плоскости, в пространстве
На этом уроке мы приступаем к изучению той части геометрии, которая занимается решением задач в трех измерениях. Называется она стереометрией (от греч. «сте́рео»: στερεός – твердый, пространственный).
Прямая, плоскость, пространство
Вспомним, что сначала мы рассматривали прямую (одномерное пространство) (см. рис. 2). На ней у нас основными фигурами были отрезки, их мы характеризовали длиной.
Рис. 2. Прямая
Затем мы рассмотрели плоскость – бесконечное множество прямых (см. рис. 3). Здесь разнообразие фигур существенно увеличилось и появились новые характеристики: длина границы (периметр) и площадь.
Рис. 3. Плоскость
Теперь мы рассмотрим пространство – бесконечное множество плоскостей (см. рис. 4). В качестве геометрических фигур будут выступать преимущественно различные тела, которые мы будем характеризовать площадью границы (площадь поверхности) и объемом.
Рис. 4. Пространство
Очень многие объекты стереометрии имеют аналоги в планиметрии. Например: куб и квадрат, шар и круг (соответственно, их границы: сфера и окружность) (см. рис. 5). Кроме того, конечно, все плоские фигуры продолжают существовать и в трехмерном пространстве: точка, прямая, плоскость остаются и в стереометрии основными неопределяемыми понятиями. Но теперь различных плоскостей существует бесконечное число.
Рис. 5. Куб и квадрат; шар и круг
При этом, если мы выберем конкретную плоскость и на ней будут лежать какие-либо знакомые нам уже фигуры: точки, прямые, многоугольники, то мы получим планиметрию в миниатюре и будем применять на этой плоскости все наши знания, полученные ранее. Этот стандартный прием мы будем часто использовать при решении стереометрических задач – свести их к одной или нескольким планиметрическим, которые мы уже умеем решать (так называемый принцип «вылить воду из чайника»).
Многогранник
Итак, точки, прямые, плоскости достаются нам в наследство из планиметрии. Новыми объектами будут многогранники, которые имеют прямую аналогию с многоугольниками.
Многоугольник представляет собой часть плоскости, ограниченной пересекающимися прямыми (см. рис. 6). Отрезки этих прямых называются сторонами многоугольника. Точки пересечения – вершинами. Аналогично образуются многогранники.
Рис. 6. Многоугольник
Если несколько плоскостей, пересекаясь, отделили область пространства, то она и называется многогранником (см. рис. 7, 8). Части плоскостей называются гранями. Отрезки, по которым они пересекаются, называются ребрами. А точки, куда сходятся ребра, называются вершинами.
Рис. 7. Плоскости, пересекаясь, отделили область пространства – многогранник 
(треугольную пирамиду)
Рис. 8. Треугольная пирамида
Тетраэдр
Треугольник – это многоугольник с минимально возможным количеством сторон – с тремя. А каково минимальное количество граней у многогранника? Т. е. сколькими плоскостями можно отделить часть пространства от остального пространства?
Как бы мы ни пересекали три плоскости, создать замкнутую область не получится.
А вот четыре плоскости вполне достаточно. Мы получаем многогранник с четырьмя гранями, т. е. четырехгранник. Но обычно его называют тетраэдр, что по-гречески и означает четырехгранник (см. рис. 9).
Рис. 9. Тетраэдр
Как бы ни был расположен тетраэдр, мы не можем увидеть сразу все грани и ребра (см. рис. 10).
Рис. 10. Возможные расположения тетраэдра
Договорились те ребра, которые мы видим, обозначать сплошной линией, а невидимые для нас – пунктиром. Сколько ребер не видно, зависит от ориентации многогранника. Мы можем расположить тетраэдр таким образом, что невидимыми будут даже три ребра.
Оптический обман
На самом деле, количество «видимых» и «невидимых» ребер тетраэдра зависит от точки, из которой мы на него смотрим (см. рис. 11, 12, 13).
Рис. 11. Видны две грани тетраэдра
Рис. 12. Видна одна грань тетраэдра
Рис. 13. Видны три грани тетраэдра
Точно так же и в жизни – в зависимости от точки расположения наблюдателя, увиденное им будет различаться, даже если он смотрит на один и тот же объект. Почему мы вообще невидимые линии рисуем по-другому и отмечаем пунктиром? Потому что в противном случае один и тот же рисунок может относиться к разным объектам.
Например, куб, изображенный на рисунке (см. рис. 14), может занимать одно из двух положений (с видимой верхней и видимой нижней гранью) (см. рис. 15). И если не обозначить пунктиром невидимые линии, то нельзя однозначно сказать, какое.
Рис. 14. Куб Неккера
Рис. 15. Два положения куба – с видимой верхней и видимой нижней гранью
Изображенный куб называется кубом Неккера и относится к оптическим иллюзиям. Если нарисовать его таким образом (см. рис. 16), то он окажется невозможным объектом, который не может существовать в реальности.
Рис. 16. Куб, являющийся невозможным объектом, который не может существовать в реальности
Вершины многогранников, как и у многоугольников, обозначаются большими латинскими буквами. Указывая конкретный многогранник, нужно указать его тип и перечислить все вершины. Например, тетраэдр . Увеличивая количество граней, мы получим многообразие многогранников (см. рис. 17) от очень простых до изощренных, изобразить которые будет достаточно сложно.
Рис. 17. Многогранники
Выпуклые и невыпуклые многогранники
Для успешного изучения свойств многогранников их нужно классифицировать и выбрать для начала самые простые, на которые можно будет разбить более сложные.
Подход такой же, какой был с многоугольниками в планиметрии (начали с треугольников).
Когда мы начали классифицировать многоугольники, то разделили их на два типа:
выпуклые и невыпуклые. Выпуклость многоугольника означала, что если через любую его сторону провести прямую, то весь многоугольник будет лежать с одной стороны от этой прямой (см. рис. 18). А у невыпуклого хотя бы одна из таких прямых разбивает многоугольник на части (см. рис. 19). Иначе это же свойство формулировалось так: если для любых двух точек, лежащих внутри многоугольника, отрезок, их соединяющий, тоже целиком лежит внутри, то такой многоугольник выпуклый.
Рис. 18. Выпуклый многоугольник
Рис. 19. Невыпуклый многоугольник
Ровно такой же подход используется в случае многогранников. Их точно так же делят на две группы: выпуклые и невыпуклые. Если в многограннике провести плоскость через любую грань и весь многогранник всегда будет оставаться с одной стороны, то его будут называть выпуклым (см. рис. 20). Если хотя бы одна такая плоскость разрезает многогранник, то он невыпуклый (см. рис. 21). Либо можно использовать второе определение, как и в случае многоугольников. У выпуклого многогранника вместе с любыми двумя точками, ему принадлежащими, ему принадлежит и весь отрезок, их соединяющий.
Рис. 20. Выпуклый многогранник
Рис. 21. Невыпуклый многогранник
В дальнейшем мы будем заниматься только выпуклыми многогранниками как более простыми для изучения.
Среди выпуклых многогранников мы выделим две группы наиболее простых и одновременно изучаемых (т. е. тех, о свойствах которых мы можем сделать какие-то полезные выводы): призмы и пирамиды (см. рис. 22). Это не значит, что других выпуклых многогранников не бывает. Бывают. Мы с некоторыми познакомимся, но основное внимание уделим именно призмам и пирамидам.
Рис. 22. Призма и пирамида
Призма
Возьмем два равных многоугольника и расположим один строго над другим, вершина над вершиной. Соединим попарно соответствующие вершины многоугольников. Полученный многогранник называется прямой призмой (см. рис. 23).
Рис. 23. Прямая призма 
Две грани, образованные равными многоугольниками, называются нижним основанием и верхним основанием. Остальные грани называются боковыми гранями. Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Боковые ребра равны друг другу и вертикальны.
Теперь сдвинем верхнее основание (крышку) в сторону, но без поворота и наклона. Боковые ребра наклонятся в одну сторону, но сохранят параллельность друг другу. Боковые грани теперь не прямоугольники, а параллелограммы. Получившийся многогранник называется наклонной призмой (см. рис. 24).
Рис. 24. Наклонная призма
Если мы повернем одно основание относительно другого, перекрутим нашу призму, то она перестанет считаться призмой (см. рис. 25). Более того, если хорошо присмотреться, то наш многогранник перестает быть даже выпуклым. Такие многогранники мы рассматривать уже не будем.
Рис. 25. Пример многогранника, не являющегося призмой
Дадим строгое определение: призма – это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы. Например, если лежит треугольник – треугольная призма, четырехугольник – четырехугольная; 
-угольник – -угольная (см. рис. 26).
Рис. 26. Треугольная, четырехугольная, -угольная призмы
Не путайте количество вершин у призмы и количество вершин у одного основания.
У -угольной призмы 
вершины: снизу и сверху.
Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, а сама призма прямая, то призма называется правильной. Например, если в основании прямой призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник, то мы имеем дело с правильной треугольной призмой (см. рис. 27). Если в основании прямой призмы лежит правильный четырехугольник (квадрат), то призма называется правильной четырехугольной (см. рис. 28).
Рис. 27. Правильная треугольная призма
Рис. 28. Правильная четырехугольная призма
Высота призмы
Любой предмет, который стоит у нас на столе, имеет высоту. Конечно, иногда определить высоту объекта довольно сложно – например, чему она будет равна у такого предмета (см. рис. 29)? В таких случаях обычно за высоту принимают наибольшее возможное значение расстояния от основания до верхней точки.
Рис. 29. Пример, когда сложно определить высоту объекта
Но у призмы высоту можно строго определить. Если призму поставить на стол на нижнее основание, то все точки верхнего основания находятся на одной высоте – как у прямой призмы, так и у наклонной. Т. е. высота призмы – это расстояние от любой точки верхнего основания до нижнего.
Опустим из любой точки верхнего основания перпендикуляр на плоскость нижнего основания. Полученный отрезок и будет называться высотой призмы (см. рис. 30).
Рис. 30. Высоты у прямой и наклонной призм
В прямой призме любое боковое ребро является высотой. В наклонной призме это не так. Более того, высота, в наклонной призме может вообще не попасть ни на одно из оснований (см. рис. 31). Подобная ситуация нам встречалась, например, с тупоугольным треугольником, когда высота проводится не к основанию треугольника, а к его продолжению.
Рис. 31. Высота наклонной призмы не попала ни на одно из оснований
Параллелепипед и куб
Призмой с минимальным количеством граней является треугольная призма. На уроках физики, изучая тему преломления света, вы рассматривали разложение пучка белого света в спектр. Там использовалась треугольная призма (см. рис. 32).
Рис. 32. Треугольная призма используется при изучении преломления света на уроках физики
Но в быту не так много предметов имеют эту форму. Например, вращающиеся элементы в рекламных щитах (см. рис. 33).
Рис. 33. Вращающиеся элементы в рекламных щитах имеют форму треугольной призмы
Зато четырехугольные призмы окружают нас буквально повсюду. А если конкретно, прямые призмы, в основании которых лежит прямоугольник. Такую форму имеет кирпич, смартфон, книга, спичечный коробок и многое другое. В силу такой важности этой формы для них придумали даже отдельные дополнительные названия. Разберемся с ними.
Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом (см. рис. 34).Легко понять, что у параллелепипеда не только основания являются параллелограммами, но и все боковые грани.
Рис. 34. Параллелепипед
Поэтому можно дать другое определение: параллелепипед – это шестигранник (а у него в самом деле шесть граней), у которого все грани являются параллелограммами.
Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны основаниям, то его называют прямым параллелепипедом (см. рис. 35). Т. е. смысл понятий «прямая призма» и «прямой параллелепипед» одинаковы.
Рис. 35. Прямой параллелепипед
Боковые ребра прямого параллелепипеда являются уже не просто параллелограммами, а прямоугольниками. Обратите внимание, что в основании прямого параллелепипеда у нас пока продолжает лежать произвольный параллелограмм.
Если в основании прямого параллелепипеда тоже лежит прямоугольник, т. е. все грани стали прямоугольниками, то такой параллелепипед называется прямоугольным.
К сожалению, по рисунку параллелепипеда мы не можем понять, является он просто прямым или прямоугольным. Дело в том, что когда мы смотрим на плоскость основания под углом, то прямоугольник мы, скорее всего, увидим как параллелограмм (см. рис. 36). Поэтому, чтобы не было недоразумений, тип параллелепипеда нужно указывать в описании.
Рис. 36. Плоскость основания (прямоугольник) под углом
Вот этот самый прямоугольный параллелепипед мы особо часто и наблюдаем вокруг себя в быту. Если вас попросят склеить коробку, не уточняя ее форму, скорее всего, вы сделаете ее в форме прямоугольного параллелепипеда.
Ну и самым «ровным», самым «правильным» параллелепипедом является куб (см. рис. 37). Все шесть его граней являются равными квадратами.
Рис. 37. Куб
Кроме треугольных и четырехугольных призм, встречаются и другие. Например, незаточенный карандаш – пример шестиугольной призмы.
Пирамида
Возьмем произвольный многоугольник, расположим его горизонтально. Он будет основанием пирамиды. Где-то выше выберем точку, она будет вершиной. Соединим ее со всеми вершинами основания. Полученный многогранник называется пирамидой (см. рис. 38).
Рис. 38. Пирамида
Кроме основания, все остальные грани называются боковыми. Тип многоугольника в основании определяет название пирамиды. Если в основании треугольник, то это треугольная пирамида (см. рис. 39). Мы с ней уже встречались. Другое название треугольной пирамиды – тетраэдр, что означает четырехгранник. Если в основании четырехугольник, то пирамида называется четырехугольной (см. рис. 40). Независимо от того, какой многоугольник лежит в основании, все боковые ребра пирамиды – треугольники.
Рис. 39. Треугольная пирамида (тетраэдр)
Рис. 40. Четырехугольная пирамида
Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой пирамиды (см. рис. 41).
Рис. 41. Высота четырехугольной пирамиды
Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник и вершина находится ровно над его центром, т. е. высота опускается в центр основания, то такая пирамида называется правильной (см. рис. 42).
Рис. 42. Правильная пирамида
Знаменитые египетские пирамиды являются правильными четырехугольными пирамидами. В основании любой египетской пирамиды лежит квадрат, а высота проектируется в центр этого квадрата. Все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, которые равны друг другу.
Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все 4 грани являются равносторонними равными друг другу треугольниками (см. рис. 43).
Рис. 43. Правильный тетраэдр
Объем прямоугольного параллелепипеда
Величиной, описывающей размер плоской фигуры на плоскости, была площадь. Величиной, описывающей размер трехмерных фигур, например многогранников, является объем. Их так часто и называют – объемные фигуры или тела.
Понятие объема вводится по аналогии с понятием площади. Сначала выбирают единицу измерения. Для площади такой единицей была площадь квадрата со стороной 
(см. рис. 44). Единицей объема принимают объем куба с ребром (см. рис. 45). Объемом произвольного тела считают количество единичных кубов или его частей, укладывающихся в этом теле.
Рис. 44. Единица измерения площади – квадрат со стороной
Рис. 45. Единица измерения объема – куб со стороной
Для площадей следующим шагом был вывод формулы площади прямоугольника. Длины двух стороны прямоугольника с общей вершиной обычно называли длиной и шириной прямоугольника. И его площадь равна произведению длины на ширину. Аналогичным шагом будет получение формулы объема прямоугольного параллелепипеда.
Из одной вершины выходят три ребра. Их называют длиной, шириной и высотой. Или общим названием – измерения. Прямоугольный параллелепипед однозначно задается тремя своими измерениями.
Рис. 46. Прямоугольный параллелепипед, где 
– длина, 
– ширина, 
– высота
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями, каждое из которых является целым числом. Наполним его единичными кубами (см. рис. 47).
Рис. 47. Прямоугольный параллелепипед наполнен единичными кубами
В один ряд у нас помещается единичных кубов. На дно мы можем уложить таких рядов. Т. е. весь нижний слой содержит 
единичных кубов (см. рис. 48).
Рис. 48. Нижний слой прямоугольного параллелепипеда содержит единичных кубов
И всего у нас поместится таких слоев. Общее количество единичных кубов составит:
Таким образом, объем данного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Эту формулу можно обобщить для произвольных значений , и (не только целых).
Объем параллелепипеда с нецелыми измерениями
Если одно или несколько измерений прямоугольного параллелепипеда являются нецелыми числами, то в дополнение к единичным кубам нам надо будет использовать кубы со сторонами 
, 
и т. д. Рассмотрим пример.
Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: 
(см. рис. 49).
Рис. 49. Прямоугольный параллелепипед с измерениями
Высота 
не является целым числом. Часть параллелепипеда высотой 
является параллелепипедом с целыми измерениями. В него помещается 
единичных кубов (см. рис. 50).
Рис. 50. В часть параллелепипеда высотой помещается 
единичных кубов
Оставшуюся часть мы сможем заполнить кубиками с ребром . Т. к. в единичный куб помещается 
таких маленьких кубиков, то объем каждого такого маленького куба равен 
:
В один ряд у нас уложится 
таких кубиков, один слой будет содержать 
кубиков (см. рис. 51).
Рис. 51. Один слой содержит кубиков
Количество слоев – 
, следовательно, общее количество кубиков (см. рис. 52):
Рис. 52. Каждый из слоев содержит кубиков
Объем каждого маленького куба равен . Значит, их суммарный объем:
Тогда объем всего параллелепипеда:
Но эту величину мы сразу бы получили, если бы перемножили три измерения исходного параллелепипеда:
Используя подобные рассуждения для любого случая нецелых измерений, мы получим похожий результат. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда всегда равен произведению его длины, ширины и высоты, т. е. трех его измерений.
Объем произвольного параллелепипеда
Прежде чем переходить к объемам остальных тел, вспомним ситуацию с площадями прямоугольника и параллелограмма.
Площадь прямоугольника равна , т. е. произведению основания на высоту. Если сдвинуть верхнюю часть в сторону, то мы получим параллелограмм. Легко увидеть, что площадь его не изменилась (см. рис. 53). У него слева отрезан треугольник и справа точно такой же приставлен.
Рис. 53. Площади прямоугольника и параллелограмма одинаковы
Т. е. площадь параллелограмма тоже равна произведению основания на высоту. Разница с прямоугольником только в том, что теперь боковая сторона не равна высоте и в параллелограмме ее нужно проводить отдельно. Подобный подход позволяет нам так же легко понять, как считать объем произвольного параллелепипеда.
Возьмем для начала прямоугольный параллелепипед с измерениями 
(см. рис. 54).
Рис. 54. Прямоугольный параллелепипед
Его объем равен:
Т. к. 
, а является высотой 
, то формулу можно записать и так:
Посмотрим на параллелепипед сверху и сдвинем одну сторону основания, превратив прямоугольник в параллелограмм, а прямоугольный параллелепипед в просто прямой параллелепипед. Изменился ли объем тела? Очевидно, нет. С одной стороны мы отрезали треугольную призму, а с другой приставили ровно такую же. При этом площадь основания тоже не изменилась. Итак, ни объем, ни площадь основания, ни высота не изменились.
Значит, осталась верна и формула:
При этом высота у нас пока совпадала с длиной бокового ребра.
Нарушим и эту ситуацию. Сдвинем верхнее основание в сторону. Превратим параллелепипед из прямого в наклонный (см. рис. 55).
Рис. 55. Наклонный параллелепипед
Очевидно, мы с одной стороны отрезали некое тело, но с другой стороны приставили ровно такое же. Объем тела не изменился. Не менялись при этом ни высота, ни площадь основания. Итак, объем произвольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
Если параллелепипед прямоугольный, то площадь основания равна 
, а высота 
и формула принимает вид:
Принцип Кавальери
Отрезая от тела с одной стороны кусочки и приставляя их с другой стороны, можно научиться считать площади и объемы многих фигур. Но чем сложнее форма фигуры, тем сложнее это делать. Все будет проще, если применить подход итальянского математика XVII века Кавальери (см. рис. 56) (т. е. метод, которому уже 
лет).
Рис. 56. Бонавентура Кавальери
Вернемся к площади прямоугольника и параллелограмма. Если бы мы спросили у Кавальери, почему площади этих двух фигур равны, он бы сказал не потому, что слева отрезали треугольник и справа приставили, а потому, что обе фигуры сложены из одинаковых отрезков.
Т. е. если нарезать обе фигуры прямыми, параллельными основаниям, то всегда левый отрезок будет равен правому. Т. е. площади фигуры как бы вымощены одинаковым количеством отрезков одинаковой длины. Поэтому равны их площади. И вот такая третья фигура в соответствии с принципом Кавальери тоже имеет такую же площадь (см. рис. 57).
Рис. 57. В соответствии с принципом Кавальери площади данных фигур равны
Этот же принцип Кавальери применял и для сравнения объемов тел. Если при нарезании двух тел параллельными плоскостями в сечении всегда получаются плоские фигуры одинаковой площади, то объемы тел равны. Два тела, сложенные из одинаковых монеток, иллюстрируют этот принцип (см. рис. 58).
Рис. 58. Объемы данных тел равны
Если поставить рядом два тела и знать объем одного из них, то можно получить объем второго, если удастся применить к ним принцип Кавальери.
Объем призмы
Для получения формулы объема призмы принцип Кавальери подходит как нельзя лучше.
Измерим объем произвольной призмы (см. рис. 59).
Рис. 59. Произвольная призма
Для этого поставим рядом с ней параллелепипед, площадь основания которого такая же, как у призмы. Высота тоже должна быть равна высоте призмы (рис. 60).
Рис. 60. Площади оснований и высоты данных параллелепипеда и призмы равны
Пересечем оба тела плоскостью, параллельной основанию. В сечении получаются такие же многоугольники, что лежат в основании тел (см. рис. 61).
Рис. 61. В результате пересечения тел плоскостью, параллельной основанию, получаются такие же многоугольники, как и в основании данных тел
Но площади этих многоугольников равны. Тогда, по принципу Кавальери, объемы призмы и параллелепипеда равны и выражаются одинаковой формулой:
Эта формула верна для произвольной призмы, как прямой, так и наклонной.
Пример 1
Пример 1. Найти объем правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно (см. рис. 62).
Рис. 62. Иллюстрация к примеру 1
Решение
Объем призмы вычисляется по формуле:
Т. к. призма 
правильная, то она прямая, следовательно, высота равна длине бокового ребра:
Основание – правильный (равносторонний) треугольник. Рассмотрим его отдельно. Проведем высоту треугольника 
(не надо путать ее с высотой самой призмы ) (см. рис. 63).
Рис. 63. Иллюстрация к примеру 1
Высоту можно найти как катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 
:
Площадь треугольника:
Подставляем полученные значения в формулу объема призмы:
Ответ: 
.
Объем эталонной пирамиды
Теперь, используя принцип Кавальери, попробуем получить формулу вычисления объема пирамиды. Но у нас есть одна проблема. Когда мы выводили формулу объема призмы, у нас была эталонная призма – параллелепипед. Его объем мы уже знали. А для пирамиды такого эталона у нас нет. Попробуем его получить.
Рассмотрим куб со стороной (см. рис. 64). Его объем нам известен:
Рис. 64. Куб со стороной
Соединим противоположные вершины куба отрезками. Как и в случае многоугольников, такие отрезки называются диагоналями. У куба четыре диагонали: каждую верхнюю вершину соединяем с противоположной нижней. В силу симметрии все они пересекутся в одной точке – центре куба (см. рис. 65).
Рис. 65. Куб имеет четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке
Куб разделился на шесть одинаковых пирамид с общей вершиной в центре куба и каждой гранью куба в качестве основания одной из них (см. рис. 66).
Рис. 66. Куб разделился на шесть одинаковых пирамид
Т. к. пирамид шесть, то объем каждой равен 
объема куба, т. е.:
Выделим в этой формуле площадь основания и высоту:
Итак, мы получили объем эталонной пирамиды.
У четырехугольной правильной пирамиды с высотой, равной половине стороны основания, объем вычисляется по формуле:
Это легко понять, потому что из шести таких одинаковых пирамид можно собрать куб.
Наша гипотеза состоит в том, что эта формула будет верна и для любой произвольной пирамиды.
Объем произвольной пирамиды
Расширим чуть-чуть принцип Кавальери. На самом деле, мы приблизим его к тому варианту, в котором его использовали сам Кавальери и его последователи.
Предположим, что при пересечении параллельными плоскостями двух тел все левые сечения 
в 
раз больше в правых 
(см. рис. 67).
Рис. 67. Сечения в раз больше сечений
Тогда, по принципу Кавальери, и объем левого тела в раз больше объема правого:
В частом случае, если все сечения равны (т. е. 
), то равны и объемы тел.
Перейдем теперь к выводу формулы объема пирамиды. Рассмотрим произвольную пирамиду. Построим рядом с ней четырехугольную правильную пирамиду такой же высоты и стороной основания в два раза больше этой высоты (см. рис. 68). Объем такой пирамиды мы знаем:
Рис. 68. Произвольная пирамида и четырехугольная правильная, у которой такая же высота и сторона основания в два раза больше этой высоты
Площади оснований пирамид связаны соотношением:
А теперь самый важный момент в рассуждении. Если мы пересечем пирамиды плоскостью, параллельной основанию, то для полученных сечений это соотношение сохранится (см. рис. 69).
Рис. 69. Пересечение пирамид плоскостью, параллельной основанию
Это понятно из следующих наблюдений: производя сечение, мы получаем многоугольник, подобный основанию. Т. е. левое сечение подобно левому основанию, а правое сечение – правому основанию.
Секущая плоскость делит высоты пирамид в одинаковом соотношении, но тогда, по теореме Фалеса, в таком же отношении делится и каждое ребро обеих пирамид, в таком же отношении находятся и стороны малого, и большого многоугольника в каждой пирамиде. Т. е. сечения левой и правой пирамиды представляют собой основания, уменьшенные в одинаковое количество раз.
Но тогда во сколько раз различались площади оснований пирамид, во столько раз будут отличаться и площади сечений. Т. е. для всех таких сечений выполняется соотношение:
Тогда, по принципу Кавальери, во столько же раз различаются и объемы пирамид:
Но объем второй пирамиды мы знаем:
Итак, мы получили, что для любой пирамиды справедлива формула:
Пример 2
Пример 2. Вычислить объем правильного тетраэдра с ребром (см. рис. 70).
Рис. 70. Иллюстрация к примеру 2
Решение
Здесь возникает интересная особенность в терминологии. Треугольная пирамида и тетраэдр – это одно и то же. Но правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр уже отличаются.
Правильной треугольной пирамидой мы называем пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а высота падает в его центр. При этом сама высота может быть любой. Иными словами, если правильную пирамиду растянуть вверх, она не перестанет быть правильной. У правильного тетраэдра все четыре грани являются равносторонними треугольниками (см. рис. 71). Конечно, эти треугольники равны друг другу (ответьте, почему).
Рис. 71. Правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр
Итак, у нас правильный тетраэдр. Все его ребра равны , а все грани – равносторонние треугольники. Т. к. тетраэдр – это пирамида, то его объем вычисляется по формуле:
В качестве основания мы можем принять любую грань – они все одинаковые. Площадь равностороннего треугольника мы уже считали:
Осталось найти высоту пирамиды. Она падает в центр основания, который является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, а значит, делит каждую медиану в соотношении 
, считая от вершины.
Обозначим, чтобы не было путаницы, высоту пирамиды как , а высоту треугольника, лежащего в основании, как .
Рассмотрим отдельно основание пирамиды. Проведем в нем высоту (см. рис. 72). Она находится как катет с гипотенузой напротив угла в :
Рис. 72. Иллюстрация к примеру 2
Высоту пирамиды мы можем найти из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой, ребром и 
медианы основания (см. рис. 73).
Рис. 73. Иллюстрация к примеру 2
Изобразим этот треугольник отдельно (см. рис. 74).
Рис. 74. Иллюстрация к примеру 2
Один его катет 
– это медианы основания, его длина равна:
По теореме Пифагора находим второй катет:
Мы нашли высоту тетраэдра, осталось вычислить его объем:
Ответ: 
.
Теорема Эйлера для многогранника
Соотношение количества вершин и сторон у многоугольника очевидно – их одинаковое количество. Например, у 
-угольника вершин и сторон. Не так очевиден ответ на вопрос, а сколько у многогранника граней, ребер и вершин.
Для начала постараемся построить гипотезу. Проанализируем несколько простых многогранников. Будем обозначать количество вершин русской буквой 
, ребер – 
, граней – 
.
Рассмотрим тела: две пирамиды (треугольную и четырехугольную) (см. рис. 75), и две призмы (треугольную и четырехугольную) (см. рис. 76).
Рис. 75. Треугольная и четырехугольная пирамиды
Рис. 76. Треугольная и четырехугольная призмы
Сведем результаты в таблицу (см. рис. 77).
Рис. 77. Соотношение количества ребер, вершин и граней многогранников
В каждом случае ребер больше всего, причем их всегда на 
меньше, чем вершин и граней в сумме. Это можно записать так:
Гипотеза состоит в том, что это соотношение выполняется для любого многогранника.
Леонард Эйлер (см. рис. 78) доказал, что это так, в 
году, почти 
лет назад.
Рис. 78. Леонард Эйлер
Еще через 
лет выяснилось, что все-таки существуют хитрые невыпуклые многогранники, для которых это соотношение не выполняется (см. рис. 79). Но для всех выпуклых многогранников оно точно выполняется. Идея доказательства этого утверждения рассмотрена ниже.
Рис. 79. Многогранники, для которых теорема Эйлера не выполняется
Идея доказательства теоремы Эйлера
Рассмотрим для начала плоский аналог теоремы Эйлера. Разобьем произвольный многоугольник на конечное число малых многоугольников. Назовем полученную фигуру сетью (см. рис. 80). Вершины многоугольников назовем вершинами сети, стороны многоугольников – ребрами, а сами многоугольники – гранями.
Рис. 80. Сеть
Докажем, что для этой сети выполняется соотношение:
Доказательство
Убедимся, что если в любой грани провести диагональ (см. рис. 81), то соотношение не изменится. В самом деле, проводя ребро, мы разбиваем одну грань на две, т. е. увеличиваем количество граней на единицу и добавляем одно ребро. Следовательно, сумма 
не изменяется. Эту сумму называют эйлеровой характеристикой.
Рис. 81. В каждой грани сети провели диагональ
Теперь мы можем разбить всю сеть на треугольники, не изменив эйлерову характеристику. Значит, теперь нам осталось посчитать эйлерову характеристику сети, состоящей только из треугольников.
Посмотрим, что будет, если удалить у сети одну грань. Возможны два варианта:
1. Для удаления одной грани нужно удалить два ребра (см. рис. 82). Тогда пропадут два ребра, одна вершина и одна грань. Эйлерова характеристика не изменится;
Рис. 82. Для удаления одной грани нужно удалить два ребра
2. Для удаления одной грани нужно удалить одно ребро (см. рис. 83). Тогда пропадут одно ребро и одна грань. Количество вершин не изменится. Эйлерова характеристика снова неизменна.
Рис. 83. Для удаления одной грани нужно удалить одно ребро
В итоге мы дойдем до самой простой сети, состоящей из одного треугольника (см. рис. 84).
Рис. 84. Сеть, состоящая из одного треугольника
Вычислим ее эйлерову характеристику:
Но тогда у любой сети, состоящей из треугольников, эйлерова характеристика равна , а следовательно, и у любой сети вообще она тоже равна единице. Итак, мы доказали, что эйлерова характеристика любой сети, состоящей из многоугольников, равна единице:
Рассмотрим теперь произвольный выпуклый многогранник (см. рис. 85).
Рис. 85. Произвольный выпуклый многогранник
Представим, что он сделан из эластичного материала. Вырежем у него одну грань и растянем его на плоскости. Получим плоскую сеть из многоугольников (см. рис. 86). У этой сети эйлерова характеристика равна :
Рис. 86. Плоская сеть из многоугольников
Наш многогранник отличается от нее тем, что у него больше на одну грань. Мы ее вырезали, и она не вошла в сеть. При этом количество ребер и вершин у них одинаково.
Следовательно, его эйлерова характеристика на больше, т. е. для любого выпуклого многогранника справедливо равенство:
Данное утверждение известно как теорема Эйлера для многогранников.
Заключение
На следующем уроке мы рассмотрим тела, не являющиеся многогранниками, но имеющие много общего с ними.
Список литературы
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 9 класс. Учебник. –М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
- Интернет-портал bymath.net (Источник)
- Интернет-портал math4school.ru (Источник)
Домашнее задание
- Найти объем прямоугольного параллелепипеда, стороны которого равны и
, а высота – 
. - Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями
см, см, 
см. Найти массу кирпича, если его плотность равна 
. - Найти объем правильной четырехугольной пирамиды
, если ее высота равна , 
.
