Расширим чуть-чуть принцип Кавальери. На самом деле, мы приблизим его к тому варианту, в котором его использовали сам Кавальери и его последователи.

Предположим, что при пересечении параллельными плоскостями двух тел все левые сечения в раз больше в правых (см. рис. 67).

Рис. 67. Сечения в раз больше сечений

Тогда, по принципу Кавальери, и объем левого тела в раз больше объема правого:

В частом случае, если все сечения равны (т. е. ), то равны и объемы тел.

Перейдем теперь к выводу формулы объема пирамиды. Рассмотрим произвольную пирамиду. Построим рядом с ней четырехугольную правильную пирамиду такой же высоты и стороной основания в два раза больше этой высоты (см. рис. 68). Объем такой пирамиды мы знаем:

Рис. 68. Произвольная пирамида и четырехугольная правильная, у которой такая же высота и сторона основания в два раза больше этой высоты

Площади оснований пирамид связаны соотношением:

А теперь самый важный момент в рассуждении. Если мы пересечем пирамиды плоскостью, параллельной основанию, то для полученных сечений это соотношение сохранится (см. рис. 69).

Рис. 69. Пересечение пирамид плоскостью, параллельной основанию

Это понятно из следующих наблюдений: производя сечение, мы получаем многоугольник, подобный основанию. Т. е. левое сечение подобно левому основанию, а правое сечение – правому основанию.

Секущая плоскость делит высоты пирамид в одинаковом соотношении, но тогда, по теореме Фалеса, в таком же отношении делится и каждое ребро обеих пирамид, в таком же отношении находятся и стороны малого, и большого многоугольника в каждой пирамиде. Т. е. сечения левой и правой пирамиды представляют собой основания, уменьшенные в одинаковое количество раз.

Но тогда во сколько раз различались площади оснований пирамид, во столько раз будут отличаться и площади сечений. Т. е. для всех таких сечений выполняется соотношение:

Тогда, по принципу Кавальери, во столько же раз различаются и объемы пирамид:

Но объем второй пирамиды мы знаем:

Итак, мы получили, что для любой пирамиды справедлива формула:

Пример 2

Пример 2. Вычислить объем правильного тетраэдра с ребром (см. рис. 70).

Рис. 70. Иллюстрация к примеру 2

Решение

Здесь возникает интересная особенность в терминологии. Треугольная пирамида и тетраэдр – это одно и то же. Но правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр уже отличаются.

Правильной треугольной пирамидой мы называем пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а высота падает в его центр. При этом сама высота может быть любой. Иными словами, если правильную пирамиду растянуть вверх, она не перестанет быть правильной. У правильного тетраэдра все четыре грани являются равносторонними треугольниками (см. рис. 71). Конечно, эти треугольники равны друг другу (ответьте, почему).

Рис. 71. Правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр

Итак, у нас правильный тетраэдр. Все его ребра равны , а все грани – равносторонние треугольники. Т. к. тетраэдр – это пирамида, то его объем вычисляется по формуле:

В качестве основания мы можем принять любую грань – они все одинаковые. Площадь равностороннего треугольника мы уже считали:

Осталось найти высоту пирамиды. Она падает в центр основания, который является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, а значит, делит каждую медиану в соотношении , считая от вершины.

Обозначим, чтобы не было путаницы, высоту пирамиды как , а высоту треугольника, лежащего в основании, как .

Рассмотрим отдельно основание пирамиды. Проведем в нем высоту (см. рис. 72). Она находится как катет с гипотенузой напротив угла в :

Рис. 72. Иллюстрация к примеру 2

Высоту пирамиды мы можем найти из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой, ребром и медианы основания (см. рис. 73).

Рис. 73. Иллюстрация к примеру 2

Изобразим этот треугольник отдельно (см. рис. 74).

Рис. 74. Иллюстрация к примеру 2

Один его катет – это медианы основания, его длина равна:

По теореме Пифагора находим второй катет:

Мы нашли высоту тетраэдра, осталось вычислить его объем:

Ответ: .