Поскольку объекты, имеющие форму тел вращения, встречаются довольно часто (в строительстве, архитектуре и вообще в быту), мы будем подробно изучать свойства этих тел. В частности, научимся вычислять характеристики их элементов, площадь поверхности и объем таких тел.

Главным отличием тел вращения от многогранников является отсутствие вершин, ребер или граней, т. е. поверхность тел вращения не образована пересечением нескольких плоскостей (см. рис. 5). Именно это различие означает «гладкую» форму тел вращения и «угловатую» форму многогранников. Это, конечно, не строгие математические термины, но они помогают нам легко, «на глаз», различать такие тела.

Рис. 5. Тела вращения отличаются от многогранников отсутствием вершин, ребер или граней

При этом многогранники нам помогут получить и доказать различные свойства тел вращения. Вспомните, что мы приближали окружность правильными многоугольниками (см. рис. 6).

Рис. 6. Приближение окружности правильными многоугольниками

Точно так же можно поступить и с телами вращения – например, призма, в основании которой лежит правильный многоугольник с большим количеством вершин, будет очень похожа на цилиндр, пирамида – на конус (см. рис. 7).

Рис. 7. Приближение призмы (основание – правильный многоугольник) и пирамиды

С шаром чуть сложнее, но его тоже можно приближать различными многогранниками (см. рис. 8).

Рис. 8. Приближение шара

Так, футбольный мяч обычно представляет собой многогранник, гранями которого являются пяти- и шестиугольники (см. рис. 9). И этот многогранник настолько хорошо приближает сферу, что позволяет футболистам играть футбол и даже использовать поговорку: «Мяч круглый».

Рис. 9. Футбольный мяч представляет собой многогранник, гранями которого являются пяти- и шестиугольники

Правильные многогранники

Может возникнуть вопрос – почему с шаром не сделать так же, как с кругом. Почему не взять правильный многогранник и не увеличивать в нем количество граней до тех пор, пока не получится тело, очень похожее на шар?

Оказывается, проблема в том, что правильных многогранников не так много. Если существуют правильные многоугольники с любым количеством вершин, то правильных многогранников существует всего видов. Посмотрим, почему так получается.

Пусть правильный многогранник имеет граней, каждая из которых представляет собой правильный n-угольник. И пусть в каждой вершине сходится ребер, а в многограннике всего вершин и ребер.

Мы можем сказать, что , (в каждой вершине сходится не меньше ребер).

Т. к. каждая грань содержит ребер, то:

( появляется, т. к. каждое ребро принадлежит двум граням (см. рис. 10), и мы его посчитали раза).

Рис. 10. Каждое ребро принадлежит двум граням

Аналогично, т. к. в каждой вершине сходится ребер, то:

( появляется, т. к. каждое ребро соединяет вершины (см. рис. 11) и мы опять его посчитали раза).

Рис. 11. Каждое ребро соединяет вершины

Вспомним теорему Эйлера для многогранников:

Подставим полученные равенства:

Т. к. правая часть должна быть положительной, то левая часть тоже положительная:

Или:

Если , то:

Значит, либо , либо должно быть равно или .

Пусть , тогда:

Откуда:

Возможные варианты:

1. Если :

Откуда:

Это тетраэдр (см. рис. 12).

Рис. 12. Тетраэдр

2. Если , :

Откуда:

Это октаэдр (см. рис. 13).

Рис. 13. Октаэдр

3. Пусть , :

Откуда:

Это икосаэдр (см. рис. 14).

Рис. 14. Икосаэдр

4. Пусть :

Откуда:

Т. е. единственный возможный вариант: :

Откуда:

Это куб (см. рис. 15).

Рис. 15. Куб

Осталось рассмотреть два случая: . Поскольку в неравенстве и симметричны, то все случаи будут рассматриваться аналогично. Случаи и мы уже рассмотрели.

5. Единственный новый случай: :

Откуда:

Это додекаэдр (см. рис. 16).

Рис. 16. Додекаэдр

Мы рассмотрели все возможные варианты, других правильных многогранников нет (см. рис. 17).

Рис. 17. Правильные многогранники

Поэтому провести аналогию с приближением окружности правильными многоугольниками для правильных многогранников не получится. Это не значит, что шар нельзя приблизить многогранниками – можно, мы уже приводили пример футбольного мяча. Но эти многогранники не будут правильными.