Рассмотрим важнейшую комбинацию: окружность и точка – точка может лежать на окружности, внутри окружности или вне ее.

Точка на окружности.

Рассмотрим окружность с центром в т. О. На окружности отметим произвольную точку
А. Если из точки А провести две хорды АВ и АС, то получим вписанный в окружность угол ВАС. Говорят, что угол ВАС опирается на дугу ВС. Дуга ВС имеет не только длину, но и градусную меру. Градусная мера дуги ВС равна градусной мере центрального угла ВОС (рис. 5).

Рис. 5. Градусная мера дуги ВС равна градусной мере центрального угла ВОС

Теорема о вписанном угле гласит, что если градусная мера угла ВАС равна α, то градусная мера угла ВОС (а, соответственно, и дуги ВС) равна 2α. (Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

Следствия:

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (рис. 6):
ÐА = ÐА₁ = ÐА₂.

Рис. 6. Иллюстрация к следствию

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр – прямые (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к следствию

Теорема. Пусть дана точка на окружности, через которую проходят касательная и хорда, причём угол между касательной и хордой равен α. Тогда дуга, стягиваемая хордой, имеет градусную меру 2α, а любой вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен α (рис. 8).

ÐМАВ = = ÐА₁ = ÐА₂.

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Точка внутри окружности.

Пусть дана окружность и некоторая точка М внутри неё.

Теорема. Произведение отрезков хорд, проходящих через точку М, есть величина постоянная для данной точки М: . (рис. 9)

Рис. 9. Иллюстрация к теореме

Доказать данное утверждение можно, если соединить точки А и С, затем точки В и D, и воспользоваться подобием полученных треугольников.

Точка вне окружности.

Дана окружность и точка М, лежащая вне этой окружности. Из точки М проведены касательная МА к окружности и две секущие МС и МK. МС – длина секущей, МВ – ее внешняя часть.

Теорема. Произведение длины секущей на свою внешнюю часть есть величина постоянная для данной точки М, лежащей вне окружности, и равная квадрату отрезка касательной, проходящей через точку М: (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к теореме

Чтобы доказать эту теорему, следует построить хорды АВ и АС и, опираясь на свойства угла между касательной и хордой, доказать подобие треугольников АВС и АМВ, откуда и вывести требуемое соотношение (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к теореме