Окружность

Признаки подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если у них все углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. При решении задач пользуются признаками подобия треугольников.

Первый признак (по двум углам):

Рис. 1. Первый признак подобия треугольников
если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 1):

Второй признак (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны (рис. 2):

Рис. 2. Второй признак подобия треугольников

Третий признак (по трём сторонам): если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 3):

Рис. 3. Третий признак подобия треугольников

Подобие в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом, ÐС=90°. В треугольнике проведем высоту СН и примем стандартные обозначения – катеты a, b; гипотенуза с; острые углы α и β, проекции катетов на гипотенузу  и . Легко заметить, что углы между высотой и катетами также равны α и β (рис. 4).

Рис. 4. Подобие в прямоугольном треугольнике

Из подобия треугольников АВС, АСН и ВСН вытекают важнейшие соотношения:

 (катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу);

 (высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу).

Свойства окружности

Рассмотрим важнейшую комбинацию: окружность и точка – точка может лежать на окружности, внутри окружности или вне ее.

Точка на окружности.

Рассмотрим окружность с центром в т. О. На окружности отметим произвольную точку
А. Если из точки А провести две хорды АВ и АС, то получим вписанный в окружность угол ВАС. Говорят, что угол ВАС опирается на дугу ВС. Дуга ВС имеет не только длину, но и градусную меру. Градусная мера дуги ВС равна градусной мере центрального угла ВОС (рис. 5).

Рис. 5. Градусная мера дуги ВС равна градусной мере центрального угла ВОС

Теорема о вписанном угле гласит, что если градусная мера угла ВАС равна α, то градусная мера угла ВОС (а, соответственно, и дуги ВС) равна 2α. (Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

Следствия:

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (рис. 6):
ÐА = ÐА₁ = ÐА₂.

Рис. 6. Иллюстрация к следствию

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр – прямые (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к следствию

Теорема. Пусть дана точка на окружности, через которую проходят касательная и хорда, причём угол между касательной и хордой равен α. Тогда дуга, стягиваемая хордой, имеет градусную меру 2α, а любой вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен α (рис. 8).

ÐМАВ =  = ÐА₁ = ÐА₂.

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Точка внутри окружности.

Пусть дана окружность и некоторая точка М внутри неё.

Теорема. Произведение отрезков хорд, проходящих через точку М, есть величина постоянная для данной точки М: . (рис. 9)

Рис. 9. Иллюстрация к теореме

Доказать данное утверждение можно, если соединить точки А и С, затем точки В и D, и воспользоваться подобием полученных треугольников.

Точка вне окружности.

Дана окружность и точка М, лежащая вне этой окружности. Из точки М проведены касательная МА к окружности и две секущие МС и МK. МС – длина секущей, МВ – ее внешняя часть.

Теорема. Произведение длины секущей на свою внешнюю часть есть величина постоянная для данной точки М, лежащей вне окружности, и равная квадрату отрезка касательной, проходящей через точку М:  (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к теореме

Чтобы доказать эту теорему, следует построить хорды АВ и АС и, опираясь на свойства угла между касательной и хордой, доказать подобие треугольников АВС и АМВ, откуда и вывести требуемое соотношение (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к теореме

Заключение

Итак, на уроке мы повторили признаки подобия треугольников, рассмотрели свойства окружности, рассмотрели различные способы расположения точки относительно окружности и вспомнили свойства окружности, которые являются следствиями подобия треугольников.

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. Viripit.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 654, 655, 664, 666.
2. Доказать все приведенные в уроке утверждения!